[NOIP2017模拟]Factorial Surplus Tail
来源:互联网 发布:linux 办公软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 14:29
题目描述
FST 作为 OIer ,经常会遇到和阶乘有关的问题,但是一个数的阶乘末尾总是会有很多 0 ,FST 认为这很不美观,但是 FST 觉得如果 0 的个数是偶数的话,还是可以接受的。
所以就有这样一个问题,FST 想知道 0!,1!,2!… … (n-1)!,n! 中有多少数的末尾 0 个数是偶数。(注意0!是1,0算偶数)
输入格式
读入有若干行,每行一个正整数 n ,最后一行是一个 -1 。
输出格式
对于每个 n 输出一行,为 0!,1!,2!… … (n-1)! ,n! 中末尾 0 个数是偶数的个数。
样例数据
输入
2
3
10
-1
输出
3
4
6
备注
【数据范围】
测试点 1、2:n≤10;数据组数=1;
测试点 3、4:n≤10000;数据组数=10;
测试点 5、6、7、8:n≤
测试点 9、10:n≤
分析:
算法一: 最暴力的暴力 20%
直接把阶乘算出来数 0 的个数。
算法二: 较优美的暴力 40%
因为质因子 2 肯定比质因子 5 多(这个就不需要证明了吧) ,所以相当于统计质因
子 5 的个数,所以暴力可以写地更简单。
算法三: 分段打表 60%
我们可以每隔 100W 个数打个表,这样暴力复杂度为 O(
算法四: 类 DP 算法 100%
第一次 DP,预处理计算[0,
转移。
可以观察下规律: (0 表示偶数,1 表示奇数)
k=0: 0
k=1: 00000
k=2: 0000011111000001111100000
k=3: 0000011111000001111100000000001111100000… …
有 2 种可能:
k是偶数, 那么 k-1是奇数, 0 个数的奇偶会变,
k是奇数,那么 k-1是偶数,0 个数的奇偶不会变,
第二次 DP,把 n+1 转化为 5 进制,从高位开始做。
然后我们可以分类讨论,例如当前位的数是 3,当前位是奇数位,现在的奇偶性为偶,那么转移答案为
(可以不管它,我都看不懂这是什么鸟语,看下面模拟可能还好一点)
每次复杂度 O(
代码:
这个题不好理解,更不好解释,代码下方我会模拟一次
#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<cstring>#include<string>#include<ctime>#include<cmath>#include<algorithm>#include<cctype>#include<iomanip>#include<queue>#include<set>using namespace std;long long getlong(){ long long sum=0,f=1; char ch; for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar()); if(ch=='-') { f=-1; ch=getchar(); } for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48; return sum*f;}long long n,mi[30],ans,num[30][2],tmp;int main(){ freopen("fstagain.in","r",stdin); freopen("fstagain.out","w",stdout); mi[0]=1; for(int i=1;i<=25;++i)//预处理5的次方 mi[i]=mi[i-1]*5; num[0][0]=1;//num[i][0/1]表示[0,5^i)中有多少个0/1 for(int i=1;i<=25;++i)//根据规律预处理 if(i%2==1) { num[i][0]=num[i-1][0]*5; num[i][1]=num[i-1][1]*5; } else { num[i][0]=3*num[i-1][0]+2*num[i-1][1]; num[i][1]=3*num[i-1][1]+2*num[i-1][0]; } n=getlong(); while(n!=-1) { ans=0; tmp=0; for(int i=25;i>=0;--i)//第二次dp,结合下方模拟理解 { for(int j=1;j<=n/mi[i];++j) { ans+=num[i][tmp]; if(i%2==1) tmp^=1; } n%=mi[i]; } cout<<ans+num[0][tmp]<<endl;//因为我们的区间左闭右开,是[0,n-1],还差一个数,最后加上 n=getlong(); } return 0;}
模拟
例如,现在的n为74(五进制244,是为了方便看加几次满足的),直接进入第二个dp,i=2时,加上两个
本题结。
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