[NOIP模拟]Factorial Surplus Tail

题目描述：
FST 作为 OIer ，经常会遇到和阶乘有关的问题，但是一个数的阶乘末尾总是会有很多 0 ，FST 认为这很不美观，但是 FST 觉得如果 0 的个数是偶数的话，还是可以接受的。
所以就有这样一个问题，FST 想知道 0！，1！，2！......(n−1)!，n!中有多少数的末尾 0 个数是偶数。（注意0！是1，0算偶数）
输入格式：
读入有若干行，每行一个正整数 n ，最后一行是一个 -1 。
输出格式：
对于每个 n 输出一行，为 0！，1！，2！......(n−1)!，n!中末尾 0 个数是偶数的个数。
样例输入：
2
3
10
-1
样例输出：
3
4
6
数据范围：
测试点 1、2：n≤10；数据组数=1；
测试点 3、4：n≤10000；数据组数=10；
测试点 5、6、7、8：n≤109；数据组数=105；
测试点 9、10：n≤1018；数据组数=105；
题目分析：
找规律+dp。表示不看题解，很难找到这个规律。
第一次 DP，预处理计算[0，5k)的答案和 0 个数的奇偶变化，可以从 5k−1转移。可以观察下规律： （0 表示偶数，1 表示奇数）
k=0： 0
k=1： 00000
k=2： 0000011111000001111100000
k=3： 0000011111000001111100000（重复五遍···）
有 2 种可能：
k是奇数，那么 k-1是偶数，0 个数的奇偶不会变，ansk=ansk−1∗5(相当于直接把上一部分重复五遍，0、1的个数分别是上一段的5倍)
k是偶数， 那么 k-1是奇数， 0 个数的奇偶会变， ansk=3∗ansk−1+2∗(5k−1−ansk−1)（长度是上一个的5倍，但是内容上是，三段相同，两端相反，并且交替出现，即正反正反正，参考k=2时，表达式的意思是0的个数等于上一段0的个数的3倍加上上一段1的个数的2倍，1的个数就反过来算）。k为偶数会难想一点，再如k=4，那么就是第一段与k=3相同，第二段将k=3的0、1分别取反，然后第三段又相同······一共五段。
值得注意的是，我们表示的是从0开始，比如k=2,表示的是从0~24,k=3是0~124，这在后面会决定处理的方法。
如果你要问我这规律是怎么发现的，那我只能说是题解告诉我的(不，其实是无可奉告>_<)。
部分代码：

void prework()//一切皆如上述解释{    mi[0]=1;    for(int i=1;i<=25;i++) mi[i]=mi[i-1]*5;    num[0][0]=1; //k=0时    for(int i=1;i<=25;i++)    {        if(i%2==1)        {            num[i][0]=num[i-1][0]*5;//分别记录了0、1的个数            num[i][1]=num[i-1][1]*5;        }        else        {            num[i][0]=3*num[i-1][0]+2*num[i-1][1];            num[i][1]=3*num[i-1][1]+2*num[i-1][0];        }    }}

第二次 DP，把 n+1 转化为 5 进制，从高位开始做。
然后我们可以分类讨论，例如当前位的数是 3，当前位是奇数位，现在的奇偶性为偶，那么转移答案为 ansk∗2+(5k−ansk)∗1，因为我们预处理的答案相当于从偶数开始，然后奇数位会改奇偶性，分配给 3 段就是(ansk) (ansk取反) (ansk)。
如果你没看懂，这很正常。如果你一眼就看懂了，orz大佬。
先放代码：

ans=0;tmp=0;for(int i=25;i>=0;i--)//相当于在拆成五进制数，从高位做起{    for(int j=1;j<=(n/mi[i]);j++)    {        ans+=num[i][tmp];        if(i%2==1) tmp^=1;//根据五的几次方，奇次方，要正反正的反转    }    n%=mi[i];}ans+=num[0][tmp];//因为我们预处理的是[0~5^k),假如我们询问125，上面代码虽然处理了125个数，但是算的是0~124，125还要单独算一下printf("%I64d\n",ans);

首先解释为什么这里变成了奇次方会出现反转（上面我复制的那段题解中说的是奇数位反转，根据题解代码来讲，我觉得应该题解说错了，因为奇数位对应的是偶数次方），而第一次dp是偶数k才反转。考虑一个数329，它化成五进制为2301，对于最高位2，它虽然是329除以125得到的。但是范围是在k=4里，所以会反转。
最后再模拟一下，还是329：首先除以125的得到2（余79），然后因为i%2==1(此时i=3),所以会要反转的情况，即第一段是k=3（答案加k=3的0的个数），第二段是k=3取反（答案加k=3的1的个数）。剩余79除以25得3（余4），i%2==0······直到最后。
注意tmp是接着用的，因为上一段的tmp会影响这里。比如我们第一次处理奇次方（假设此时是大于k=3，小于k=4），那么我们询问的就是k=4的一部分，假设处理了三段（利用k=3），正反正，然后还剩余一截，其实是剩在了第4段里（这一段是要反转的），虽然我们剩余部分的处理要利用k=2，但这里要反转，所以tmp要接着用才能让它是反转的，否则你tmp重置为0，就不会把其反转。
附代码：

#include<iostream>#include<cstring>#include<string>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<ctime>#include<queue>#include<set>#include<map>#include<cctype>#include<iomanip>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;long long n,mi[100],ans,num[100][2],tmp;long long readlong(){    char ch;long long i=0,f=1;    for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());    if(ch=='-') {ch=getchar();f=-1;}    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) i=(i<<3)+(i<<1)+ch-'0';    return i*f;}void prework(){    mi[0]=1;    for(int i=1;i<=25;i++) mi[i]=mi[i-1]*5;    num[0][0]=1;    for(int i=1;i<=25;i++)    {        if(i%2==1)        {            num[i][0]=num[i-1][0]*5;            num[i][1]=num[i-1][1]*5;        }        else        {            num[i][0]=3*num[i-1][0]+2*num[i-1][1];            num[i][1]=3*num[i-1][1]+2*num[i-1][0];        }    }}int main(){    //freopen("fstagain.in","r",stdin);    //freopen("fstagain.out","w",stdout);    prework();    while(n=readlong(),n!=-1)    {        ans=0;tmp=0;        for(int i=25;i>=0;i--)        {            for(int j=1;j<=(n/mi[i]);j++)            {                ans+=num[i][tmp];                if(i%2==1) tmp^=1;            }            n%=mi[i];        }        ans+=num[0][tmp];        printf("%I64d\n",ans);    }    return 0;}