1.1.2.3.11 兵力的投入数量与胜利

由于未找到数学家库普曼关于兰切斯特法则的推导过程，所以只能引用推导的结果以供参考。

二战期间，以美国数学家库普曼（Koopman，1943）为首的美国海军研究组，在“兰氏平方法则”基础上，扩展成更加完整的战略模型，并利用微分博弈方法和动态最优化方法，计算出各种相对稳定状态下的均衡条件。并从“有效攻击距离”角度，得出了著名的“3倍制胜法则”（适用于“一对一”对决情形）。据此推导出了保证对局双方力量平衡所需要的初始条件。基本观点是：在双方对决中，一方要想绝对取胜，进攻方必须保证自己的兵力达到对方的3倍以上（“一对一”对决情形），这也说明防御策略在保存力量方面的优势。换言之，要保证取得压倒性胜利，进攻方所投入的兵力必须达到双方总投入兵力比重的73.9%以上；相对应的，如果所投兵力少于总兵力的26.1%(1-73.9%)，则必败无疑。此外，只要一方所投入的兵力不少于双方总投入兵力比重的41.7%，就足以维持双方力量的相对平衡，即形成对峙局面。这与人们通常的50%:50% 的直觉观念有一定出入。

由库普曼的成果可以得出近距离作战时，进攻方的兵力是防守方的倍时，弱者反败为胜已不可能。

1.1.2.3.12 分敌次数与伤亡人数

 

假设两军交战，A军的人数为a人，B军的人数为b人。A军通过战术手段，将B军分成n份，进行近距离各个击破。则A军的剩余人数为：

如果A军与B军的武器性能相同，则A军剩余人数为：

如果A军与B军的武器性能相同，且人数相同为a，则A军剩余人数为：

当n趋近于正无穷大时，上式的极值为

上式的意思是当B可以被无限分割，各个击破时，A军的伤亡是0。现实中，B队被分割的最大次数为B次，没办法将1个人再分成几份。

现实中，B队被分割的次数也不是越小越好，因为A队每次分割B队，自己也要付出努力和成本的。另一方面，当B队被分割的很小时，比如A和B队各100人，B队被分割到1人时，A队以100:1进行战斗，这100人也不能同时有效参见战斗的，因为B队对于A队来说，火力作用点太小了。

 

假设A队和B队人数都是100人，火力性能相同。A队将B队平均分成n个区，进行各个击破，则A队剩余人数与分割次数见下表。

A队人数

分割次数n

B队每区人数

A队剩余人数

100

1

100

0

100

2

50

70.71067812

100

3

33.33333333

81.64965809

100

4

25

86.60254038

100

5

20

89.4427191

100

6

16.66666667

91.28709292

100

7

14.28571429

92.58200998

100

8

12.5

93.54143467

100

9

11.11111111

94.28090416

100

10

10

94.86832981

100

20

5

97.46794345

100

50

2

98.99494937

100

100

1

99.49874371

当把A军分成1个区时，双方均全部阵亡；当把B军分成2个区时，A军剩余70.7人；当把B军分成4区时，A军剩余86.6人；当把B军分成10区时，A军剩余94.8人；当把B军分成100区时，A军剩余99.4人。

 

由此可见，在双方实力既定的情况下，通过将敌军分成若干区域，进行各个击破，可以以更小的伤亡代价来消灭敌人。