用Python学《微积分B》（Unit Test 3）

    本文主要用Python来求解《微积分B》课程的“单元测试3”的习题，此外，为了避免前一节“Taylor公式”的篇幅过长，也将其课后习题放在这里。

    注：sympy中对高阶无穷小采样的是“Big O notation”（大O标记法）；而扈志明老师的《微积分B》课程采用的是“Little O notation”（小o标记法），两者是有差别的：

       https://stackoverflow.com/questions/1364444/difference-between-big-o-and-little-o-notation

Taylor公式：

2，设函数f(x)具有3阶导数，且满足，求f(1)和f'''(1)的值？

解：f(1)直接代入，舍去高阶无穷小，得 f(1) = 6

根据Taylor公式及其唯一性，则有：

    

3，设函数，求

解：本题展示了Taylor公式求高阶导数的魅力，虽然它可以根据复合函数链导法直接求，但是过程无疑很复杂。而用Taylor公式来求高阶导数，它能够借用现成的结论（比如前面所说的五个简单函数的Maclaurin公式），运算会简单的多，这实际就是“站在巨人的肩膀上”！

已知：

    

则：

    

注：最后一步用到了高阶无穷小的运算，这个可以参考sympy-order文档（但是要再次强调，文档中是Big O，本文是Little o）：

    http://docs.sympy.org/latest/modules/series/series.html#order-terms

将上式与一般的Taylor公式进行比较（仅比较待求解的哪一项即可），得：

    

注：这个比较是建立在“Taylor公式的唯一性”的理论基础之上的。

6，当 x -> 0 时，若与是同阶无穷小量，求a与b的关系

解：这一题体现的是“Taylor公式判别无穷小的阶”，如果直接求极限，用洛必达法则，过程会很冗长。

在应用“Taylor公式”之前，我们最好将它变换，往已知的Maclaurin公式靠：

变成这种线性关系，就可以套sin(x)的Maclaurin公式，且只需到即可：

整理得：

注意，上式中用的是Big O

很显然，如果上式与同阶，则前两项必须为零（从不定式的极限可以推导这个结论）。

填空题

1，求极限

解：分子分母都是趋向于0，很容易想到用“无穷小替换”或“洛必达法则”。但是，分子分母求导数都不容易，用“洛必达法则”肯定很复杂。用“无穷小替换”，分子分母都加减运算，我们可以考虑先用“Taylor公式”，看看能不能消去高阶无穷小，凑成已知的无穷小。下面用python来展示这个过程：

    

用Taylor公式求不定式的极限，它实际上还是借助“无穷小的替换”来实现的，故在对分子分母进行展开时，找到第一个系数不为零的阶即可。即变成如下形式：

    

这样就变成了纯粹的“无穷小比较”了。

3，求

解法同前面选择题3，下面用Python演示：

4，当 x -> 0时，若  与 是同阶无穷小量，则 k = ?

解法同选择题6，需要注意先变换：

5，6，估算  和 ln(1.02)

解：对于这类估算，要根据需要的精度，选择Taylor展开的阶数。此外，需要凑易于计算的高阶导数

凑整数，，取，在 a = 4096处Taylor展开

如果仅精确到小数点后三位，只取一阶导数展开即可

第6题的展开可以直接套用ln(1 + x)的Maclaurin公式，相对要更简单。

Unit Test 3

1，求极限（Taylor公式+无穷小替换）

2，判定无穷小的阶（Taylor公式）

4，判断函数是否有渐近线？

解：一般先判断斜渐近线和导数不存在的点的垂直渐近线

很明显：前两个函数的斜渐近线极限不存在，第三个极限为无穷，只有第四个极限存在。

7，若函数 f(x) 在 x = 0 处可导，且满足条件

    

求f(0)和f'(0)

解：先通分，然后再将右边的表达式进行二阶Talylor展开，可得

    

    注意，第二步消去高阶无穷小是以这个极限存在为前提条件。

    至此，分子分母消去公因子x，得

    

    有极限存在可知，在 x -> 0 时，分母趋向于0，分子也应该趋向于0，即

    

    又因为，f(x)在 x = 0 处可导，可导则连续，故有

    代回上上式，根据极限定义可得f'(0) = 1

11，已知f(x)在区间[a , b]上二阶可导，且在该区间上满足f''(x) + 2f'(x) -f(x)=0，若 f(a)=f(b)=0，则f(x)在[a, b]上的性质是？（答案是“恒为0”）

解：根据Roll定理，

    

将原式变形为 

所以，f(x)在该区间上只能有负的极大值或正的极小值，故为0

12，解：

又该公式可知，f'(x)在 x=0两侧都大于零。

13，解题提示：1）偶函数对称性；2）在[0, pi/2]之间的最大值最小值；3）初等函数连续性。

14，解题提示：取x=y

15，解题提示：1是Roll定理；2）是Roll定理逆命题，用f(x)= x ** 3可证伪；3）Roll定理逆命题附加一个条件，则成立。