用Python学《微积分B》（不定积分的概念）

  本文主要总结《微积分B》课程6-1节“不定积分的概念和性质”的知识点，并使用Python求解该节的课后习题。

一、知识点

1，“函数可积”（原函数存在）的判定
  1）连续函数一定可积
  2）函数可积的必要条件
  Darboux定理告诉我们：函数可导，则其导函数一定满足“介值定理”。（Darboux定理也可以称为“导函数介值定理”）
  由此可得：函数可积，则该函数不一定连续，但一定满足“介值定理”。
  推论：包含第一类间断点（左右极限不相等）的函数一定不可积。
  Example:

f(x)=⎧⎩⎨2x∗sin(1x)−cos(1x),0,x≠0x=0

F(x)=⎧⎩⎨x2∗sin(1x),0,x≠0x=0

  其中，f(x)在 x = 0 处有第二类间断点，但是在区间(−∞,+∞)上，F(x)是f(x)的原函数。
  

  2，原函数族

∫f(x)dx=F(x)+C

  如果一个函数可积，那么它的原函数有无数个，即“原函数族”。
  

  3，积分的加减和数乘运算

∫af(x)+bg(x)dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx

  

  4，积分是求导的逆运算
  在微分学中，求导数一般要借用一些已知的基本函数的导数公式，而“积分是求导的逆运算”，它同样也要借用那些已知的基本函数的积分公式，即“积分表”：
  https://en.wikipedia.org/wiki/Lists_of_integrals
  

二、课后练习

选择题：
3，若f(x)的一个原函数是e−2x，求∫f′(x)dx=?
解：本题需要注意它是求f(x)的导函数的积分，即f(x)的原函数F(x)的二阶导数的积分

from sympy import *init_printing()x = Symbol('x')F = exp(-2 * x)DF2 = F.diff(x, 2)DF2, integrate(DF2, x)

(4e−2x,−2e−2x)

  

4，下列各对函数中，是同一函数的原函数的是？
解：这道题实际上问的是“导函数相同的是哪一对”

diff(atan(x), x), diff(acot(x), x)

(1x2+1,−1x2+1)

diff(exp(x), x), diff(1 / 2 * exp(2 * x), x)

(ex,1.0e2x)

diff(2 ** x / log(2), x), diff(2 ** x + log(2))

(2x,2xlog(2))

diff(log(2 * x), x), diff(log(x), x)

(1x,1x)

  很明显，是最后一对。
  

5，设∫f(x)dx=F(x)+C，且 x = at + b ，求∫f(t)dt=?
解：这道题提醒大家不定积分的形式不变性。积分元可以任意变换，积分表达式不变。
  所以，

∫f(t)dt=F(t)+C

6，设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则以下结论正确的是？
解：本题考察“导函数”与“原函数”在奇偶性、周期性和单调性上的关系。
  由不定积分的定义（原函数族）可知：

F(x)=∫f(x)dx−C

  根据上一题“积分形式不变性”，用“-x”替换积分表达式中的“x”，得

F(−x)=∫f(−x)d(−x)−C=−∫f(−x)dx−C

  若f(x)是奇函数，则有f(-x)=-f(x)，代入上式，得

F(−x)=−∫f(−x)dx−C=∫f(x)dx−C=F(x)

  

8，9两题都是求不定积分，直接python展示：

expr = 1 / (1 + x ** 2)expr, integrate(expr, x)

(1x2+1,atan(x))

expr = x ** 2 * sqrt(x)expr, integrate(expr, x)

⎛⎝x52,2x727⎞⎠

10，已知 f’(ln x) = x ， 其中 1 < x < +oo ， 且 f(0) = 0 ， 求 f(x)
解：本题需要注意“复合函数的导函数”和“导函数的复合函数”之间的区别 —— 求导和复合的顺序不同。
  复合函数的导函数是“先复合，再求导”，它采用“链导法”，如下：

u=g(x),y=f(u)⇒f′(x)=df(x)dx=df(u)dudg(x)dx=f′(u)∗g′(x)

  注意上面的f’(x)的括弧中只有“x”，此外要特别注意理解链导过程的意义。
  相对地，导函数的复合函数就是“先求导，再复合”，此时千万别套“链导法”，而是直接求导，再替换成复合函数的形式。比如本题，可以如下处理：
  设 u = ln x , 则

x=eu⇒f′(u)=eu

  根据积分形式不变性，替换积分元得

f′(x)=ex⇒f(x)=∫exdx=ex+C

  再根据其他已知条件求出C即可。
  

填空题：
2，若

f(x)=⎧⎩⎨1−cos(x)2,ax2+b,x<0x≥0

在(−∞,+∞)上有原函数，求a和b？
 解：f(0)=b，再对x=0求极限，根据连续函数的定义 —— 极限值等于函数值，建立等式。可得 b = 0， a 任意。