用Python学《微积分B》(换元法与分部积分)
来源:互联网 发布:linux vsftpd 安装 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 06:20
一、知识点
1,换元法
换元法主要是根据“积分形式不变性”,通过“替换被积变量”的方式将“被积函数”转换为“积分表”中的函数及其组合,待求出原函数之后,再将变量替换回来的求积分的方法。
1)复合函数换元法(第一类换元法)
复合函数换元法主要是利用复合函数微分来进行“凑微分”,即将“微分符”外面的东西变到“微分符”里面。其关键点是要找到合适的中间变量
例:
2)反函数换元法(第二类换元法)
反函数换元法与复合函数换元法刚好相反,它需要做的是将“微分符”里面的东西变到“微分符”外面。其关键点是找到新变量t,使得
最后又要用反函数将x替换回来
例:
解:令
1,分部积分法
分部积分法是从“函数乘积的微分”,即
分部积分法主要是将“求函数的积分转变为求导函数的积分”(又是“降维”的方法),所以主要应用于这两种情况:一是函数的比较复杂,而它的导数比较简单,比如:ln x、arctan(x)、arcsin(x)等;二是函数与导数差不多的情况,比如:
例:
从上面这两个例题的推导过程来看,分部积分法实际上是一种“递归”(recursion)算法。
上式是一种特殊的递归,通过两次分部积分,又得到了自身,故,它的递归结束条件是重回自身。
二、课后习题
换元法:
3,求积分
解:包含绝对值的积分式,不能用python直接解。可以将它分段表示,再用“凑微分法”求解,最后取x=0点连续,求出共同的常数C。
下面再给出5-10题的python求解过程(注,对于“换元”,sympy.subs函数给与了很好的支持):
from sympy import *init_printing()#Exercise 3x = Symbol('x')integrate(exp(-abs(x)), x), integrate(exp(-x), x), integrate(exp(x), x)
#Exercise 5x = Symbol('x')f = log(x) / x ** 2f, integrate(f, x)
#Exercise 6x = Symbol('x')Df = exp(-x).diff(x)g = Df.subs(x, log(x))g, integrate(g / x, x)
#Exercise 7x = Symbol('x')F = x ** 2f = F.diff(x)g = f.subs(x, 1 - x ** 2)f, g, integrate(x * g, x)
#Exercise 8x = Symbol('x')f = x / (1 - x) ** 3f, integrate(f, x)
#Exercise 9x, u = symbols('x u')f = u / (1 + u ** 4)Gu = integrate(f, u)f, Gu, Gu.subs(u, sin(x))
#Exercise 10x = Symbol('x')f = 2 ** x + x ** 2f, integrate(f, x)
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