有关计数问题的dp

1、划分数
有n个无区别的物品，将它们划分成不超过m组，求出划分方法数模M的余数。
dp[i][j]表示j的i划分的总数
考虑n的m划分ai(∑i=1mai=n)，如果对于每个i都有ai>0，那么ai−1就对应了n−m的m划分。另外，如果存在ai=0，那么这就对应了n的m−1划分。综上可得
dp[i][j]=dp[i][j−1]+dp[i−1][j]

void solve(){    dp[0][0]=1;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        for(int j=0;j<=n;j++)        {            if(j-i>=0) dp[i][j]=(dp[i][j-i]+dp[i-1][j])%MOD;            else dp[i][j]=dp[i-1][j];        }    }}

2、多重集组合数
有n种物品，第i种物品有ai个。不同种类的物品可以互相区分但相同种类的无法区分。从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？

dp[i+1][j]表示从前i种物品中取出j个的组合总数，可得
dp[i+1][j]=∑k=0min(j,a[i])dp[i][j−k]
当j>ai时
dp[i+1][j]=∑k=0min(j−1,a[i])dp[i][j−1−k]+dp[i][j]−dp[i][j−1−ai]
当j≤ai时
dp[i+1][j]=∑k=0min(j−1,a[i])dp[i][j−1−k]+dp[i][j]

void solve(){    for(int i=0;i<=n;i++)    {        dp[i][0]=1;    }    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=1;j<=m;j++)        {            if(j-1>=a[i]) dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j]-dp[i][j-1-a[i]+MOD)%MOD;            else dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j])%MOD;        }    }}