挑战P66 有关计数问题的dp

1.划分数

有n个相同的物品，将他们划分为不超过m组的划分方法，求出划分方法模M的余数

input:4 3

ouput:4

这是关于整数划分的题目，设

dp[i][j]为将i划分为不超过j组的划分方法，则，

若任意划分中的ai>0，则对应dp[i-j][j]的划分方法

若存在ai==0，则对应dp[i][j-1]

所以，dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1]

注意边界处理，dp[0][0]=1,0<=i<=n,1<=j<=m，

#include<stdio.h>#include<string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int  maxn=10010;int n,m,dp[maxn][maxn];int solve(int n,int m){    memset(dp,0,sizeof(dp));    //我觉得dp最难处理的就是边界了，心累，每次都不值怎么找边界值    dp[0][0]=1;    for(int i=0;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=m;j++)        {            if(i>=j)            dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];            else            dp[i][j]=dp[i][j-1];        }    }    /*for(int i=0;i<=n;i++)    {        for(int j=0;j<=m;j++)        cout<<dp[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }*/    return dp[n][m];}int main(){    cin>>n>>m;    cout<<solve(n,m)<<endl;    return 0;}

2.多重集组合数

题意：有n种物品，每种物品有ai个，从这些物品中取出m个的话，有多少种取法？

令dp[i][j]为前i种物品选出j个的组合总数

则，dp[i][j]=sum{dp[i-1][j-k](0<=k<=min(j,a[i]))}

即从i个物品中取出j个，可以从i-1个物品中选出j-k个，再从第i种物品中取出k个

，但是这种定义复杂度比较大。我们可以看出，其实在向右求解的时候会有重复求解，所以，转移方程还可以化成：

sum{dp[i-1][j-k]}=sum{dp[i-1][j-1-k]}+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];

刚开始这化解不太懂，反应能力理解能力太差了，后来模拟一遍才慢慢理解，。。

所以，递推方程为：

dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];

这道题有个很重要的思想就是先写出比较简单的转移方程，然后慢慢找出子结构重复的部分再化简。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int  maxn=10010;int n,m,dp[maxn][maxn],a[maxn];int solve(int n,int m){    for(int i=0;i<=m;i++)    //一个都不取的方法只有一种    dp[i][0]=1;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        for(int j=1;j<=m;j++)        {            if(j-1-a[i]<0)            dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j];            else            dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]-dp[i-1][j-1-a[i]];        }    }    /*for(int i=0;i<=n;i++)    {        for(int j=0;j<=m;j++)        cout<<dp[i][j]<<" ";        cout<<endl;    }*/    return dp[n][m];}int main(){    cin>>n>>m;    for(int i=1;i<=n;i++)    cin>>a[i];    cout<<solve(n,m)<<endl;    return 0;}