LCA转化RMQ（内附RMQ算法ST）

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。
如果对一颗树进行dfs遍历 按照遍历的顺序将结点深度和标号写入一个数组d
并记录每个结点被第一次被访问时在d中的位置
如图  则d中的深度如下
1234343232343212
对应的标号如下
1247484252696213  
对于结点7 和9  他们的lca就是 深度区间里最小的那个 也就是2 对应着点2

现在来看RMQ的解决方法：

RMQ问题：区间最小值问题（也可以解决区间最大值问题）

解决算法：ST （Sparse - Table算法，基于动态规划求区间最值的算法） 

ST算法分为预处理和查询两部分 

首先定义数组：我们用定义 Amax[i][j] 为从 i开始的，长度为2^j的区间里面的最大值, Amin[i][j]为从i开始，长度为2^j的区间里面的最小值 

一：预处理如下


我们可以将一段长度为2^j的区间分成两段长度都为2^(j-1)的相同区间 
 
区间1 为  i.....i+2^(j-1)-1   区间2为  i+2^(j-1).....i+2^j-1 
 
得到状态转移方程（由长度递增推出）


Amax[i][j] = max(Amax[i][j-1], Amax[i+2^(j-1)][j-1])
Amin[i][j] = max(Amin[i][j-1], Amin[i+2^(j-1)][j-1])边界条件为F[i][0]=A[i]. 
  
二：查询如下


MAX L R 表示要查询[L, R]区间的最大值
MIN L R 表示要查询[L, R]区间的最小值


我们需要找到这样一个k值，使得从L开头的一个长度为2^k的区间 和 以R结尾的长度为2^k的区间 包括了整个[L, R]


k值计算有两种方案  1，k =(int) log2( R-L+1)  2，k值从0开始递增 直到2^k大于 R-L+1 为止。
 
找到k后，查询操作有


return max(Amax[L][k], Amax[R-(1<<k)+1][k]);//返回区间最大值


return min(Amin[L][k], Amin[R-(1<<k)+1][k]);//返回区间最小值