2D图形变换原理浅析

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        本文简述一下2D图形变换的概念和原理。

基础概念

矩阵乘法

m行n列的矩阵，表示为m*n，如果2个矩阵相乘，矩阵A[m1*n1]和矩阵B[m2*n2]相乘，必须满足条件n1==m2，相乘的结果矩阵为C[m1*n2]。

参考链接：https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E4%B9%98%E6%B3%95/5446029?fr=aladdin

齐次坐标

简单来说就是使用n+1维的向量，表示n维空间的点。比如，使用（2,3,1）来表示（2/1,3/1）=（2,3），用（4,6,2）来表示（4/2,6/2）=（2,3）。

参考链接：https://baike.baidu.com/item/%E9%BD%90%E6%AC%A1%E5%9D%90%E6%A0%87/511284?fr=aladdin

备注：

使用下文使用二维数组代表矩阵，比如 [[a,b], [c,d]] =

1、组合变换

假如有一个图像，需要进行一系列变换（先不管具体的变换），比如变换A（平移）、B（缩放）、C（旋转），那么可以把这3个变换组合成一个组合变换，变换矩阵为ABC。

改变换可以同时让图像进行 平移、缩放和旋转的变换。

2、平移

概念

所谓平移，就是图形整体移动，微观上看每一个点的话，有如下的变化：

推导变换矩阵

[x, y] ->[x+c0, y+c1]，c0和c1是不变的常量。

如果变换矩阵A，是一个2*2矩阵，假设A=[[a,b],[c,d]]，那么有：

[x,y]A = [ax+cy, bx+dy]

ax+cy=x+c0，bx+dy=y+c1

又因为cy和bx不是常量，所以A不能满足平移变换。

如果引入齐次坐标，对上述变换做进一步推导，则有

[x, y] -> [x, y, 1]  -> [x+c0, y+c1, 1]  -> [x+0*y+c0, 0*x+y+c1, 1]。

上述变换可以由一个1*3矩阵和3*3矩阵相乘得到，所以：

如果A为[[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]，则有：

ax+dy+h = x+0*y+c0

bx+ey+i = 0*x+y+c1

cx+fy+g=1

所以可以算出A为[[1,0,0], [0,1,0], [c0,c1,1]]

3、缩放

概念

缩放跟平移有点区别，平移是整体移动固定距离，而缩放除了缩放系数之外，还要一个基准点，也就是，基于某个点，缩放多少倍。

上图可以看出，基于不同的基准点缩放，结果会不一样，这样的话，如何统一处理所有缩放，就是一个问题。

幸运的是，我们可以先对它做平移的预处理，然后做缩放变换，最后再还原之前的位置，也就是入下图所示：

推导变换矩阵

如果基准点为[0， 0]（坐标系原点），缩放系数为2，那么有如下变换结果

[x, y] ->[s*x, s* y]，s为缩放系数。

如果变换矩阵A，是一个2*2矩阵，假设A=[[a,b],[c,d]]，那么有：

[x,y]A = [ax+cy, bx+dy]

ax+cy=s*x，bx+dy=s*y

所以可以算出，A为[[s,0], [0,s]]

又因为平移变换矩阵是3*3矩阵，而缩放矩阵是2*2矩阵，所以再次使用齐次坐标，把缩放矩阵变为A1=[[s,0,0], [0,s,0], [0,0,1]]

如果基准点是[px, py]，平移基准点到坐标系原点的矩阵为A2=[[1,0,0], [0,1,0],[ -px,-py,1]]

缩放后还原到原来位置的矩阵为A3=[[1,0,0], [0,1,0], [px,py,1]]

那么整个流程的变换矩阵为A2A1A3=[[s,0,0], [0,s,0], [(1-s)*px, (1-s)*py, 1]]

4、旋转

概念

旋转跟缩放有点类似，都需要一个基准点。所以处理方法一样，都是先平移基准点到原点，然后做旋转，最后再还原。

绕基准点逆时针旋转a度，称为旋转a度。

推导变换矩阵

如果基准点为[0， 0]（坐标系原点），初始角度为B，旋转角度为A，那么有如下变换结果

首先点[x,y] = [r*cosB, r*sinB]，r为点[x,y]到基准点距离。

则有，[r*cosB, r*sinB] -> [r*cos(A+B), r*sin(A+B)] -> [r*(cosA*cosB-sinA*sinB), r*(sinA*cosB+cosA*sinB)]。另r=1，则有

变换矩阵M=[[a,b], [c,d]]，

[cosB, sinB]M = [cosA*cosB-sinA*sinB, sinA*cosB+cosA*sinB]

所以有：

a*cosB+c*sinB = cosA*cosB-sinA*sinB

b*cosB+d*sinB = sinA*cosB+cosA*sinB

所以可以算出M=[[cosA, sinA], [-sinA,cosA]]，结合齐次坐标，转换M为3*3矩阵后，M=[[cosA,sinA,0], [-sinA,cosA,0], [0,0,1]]

如果基准点为[px, py]，再结合前后的平移变换（参考缩放变换），可以计算出，整体得变换矩阵为

[[cosA, sinA,0], [-sinA,cosA,0], [(1-cosA)*px+sinA*py, (1-cosA)*py-sinA*px, 1]]

5、扭曲

概念

扭曲就是x和y坐标分别进行不同程度的变换，如下图所示：

推导变换矩阵

x不变，y随着x变：

[x, y] -> [x, y + s*x]，s为扭曲率。

假设变换矩阵M=[[a,b], [c,d]]，那么

a*x+c*y = x

b*x+d*y = s*x + y

所以可以计算出M为[[1,s], [0,1]]，转换为齐次坐标后，M=[[1,s,0], [0,1,0], [0,0,1]]

y不变，x随着y变：

[x, y] -> [x + s*y, y]，s为扭曲率。

假设变换矩阵M=[[a,b], [c,d]]，那么

a*x+c*y = x + s*y

b*x+d*y = y

所以可以计算出M为[[1,0], [s,1]]，转换为齐次坐标后，M=[[1,0,0], [s,1,0], [0,0,1]]

综上所述，如果sx表示x随着y的变化率，sy表示y随着x的变化率，则有M=[[1,sy,0], [sx,1,0], [0,0,1]]