51Nod 1116 K进制下的大数【数学】

题目大意

传送门

有一个字符串S，记录了一个大数，但不知这个大数是多少进制的，只知道这个数在K进制下是K - 1的倍数。现在由你来求出这个最小的进制K。
例如：给出的数是A1A，有A则最少也是11进制，然后发现A1A在22进制下等于4872,4872 mod 21 = 0，并且22是最小的，因此输出k = 22(大数的表示中A对应10，Z对应35)。

Input
输入大数对应的字符串S。S的长度小于10^5。

Output
输出对应的进制K，如果在2 - 36范围内没有找到对应的解，则输出No Solution。

Input示例
A1A

Output示例
22

思路

本文是看教程：O(n)可以解决的2道题

习题的第一题，是比较好的思路。

遇到数相关的题目，凡是提到了K以及K−1，就往欧拉公式，费马小定理上想。

• 欧拉函数ph(n): 所有小于n且与n互质的数的个数
  比如说ph(12)=4,[1,5,7,11与12互质]

• 欧拉定理: aph(n)=1(modn)
  n和a是正整数并且互质的时候，欧拉定理成立。
  当欧拉公式中的n为质数的时候，显然ph(p)=p−1，则可得：

• 费马小定理：a(p−1)=1(modp)

这题目中
Smod(p−1)
=(S[0]∗Pn+S[1]∗Pn−1+...+S[n−1]∗P0)mod(p−1)
=(S[0]+S[1]+...+S[n−1])mod(p−1)

所以判断各个位数上加起来能否被p-1整除就好了，若能整除答案就是p。

代码

#include<stdio.h>#include<string>#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;#define max_int(a,b) (a>b)? a:bchar S[100005];int char2int(char a){    if('A'<=a && a<='Z') return a-'A'+10;    else return a-'0';}int main (){    scanf("%s",S);    int len = strlen(S);    int ans = 0;    int max_b = 0;    for(int i=0;i<len;i++){        ans += char2int(S[i]);        max_b = max_int(max_b,char2int(S[i]));    }    int flag = 0;    for(int i=max_b+1;i<=36;i++)    {        if(ans%(i-1)==0) {printf("%d\n",i);flag =1; break;}    }    if(flag == 0)        printf("No Solution\n");}

Hit

费马小定理！