HDU 2665 个人理解（主席树）

首先感谢 http://blog.csdn.net/zearot/article/details/44981711

先上原题链接 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2665

题意大概是给你一列数，给你若干个闭区间[i,j]，问这个区间内第k小（题意有误，第k大无法通过，第k小A过去了）的数是多少。

再上代码（一会解释）

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>typedef long long ll;const constexpr int maxN = 1e5 + 5;const constexpr int MAXN = 40*maxN;int left[MAXN];int right[MAXN];int sum[MAXN];int Tree[MAXN];int cnt;void clear(){left[0] = 0;right[0] = 0;sum[0] = 0;cnt = 0;}void update(int& now,int begin,int end,int add)// Update the Fotile Tree (Insert new nodes into it){++cnt;// copy the origin nodeleft[cnt] = left[now];right[cnt] = right[now];sum[cnt] = sum[now]+1;now = cnt;// add new data to itif (begin == end) return;int mid = (begin+end)/2;if (add <= mid) update(left[now],begin,mid,add);else            update(right[now],mid+1,end,add);}int query(int i,int j,int begin,int end,int k){if (begin == end) return begin;int t = sum[left[j]] - sum[left[i]];int mid = (begin+end)/2;if (t >= k) return query(left[i],left[j],begin,mid,k);else return query(right[i],right[j],mid+1,end,k-t);}struct num_pos{int x,pos;num_pos(int _x=-1,int _pos=-1):x(_x),pos(_pos) {}bool operator<(const num_pos& n) const{return (x < n.x);}};num_pos pos[maxN];int T,n,m,nums[maxN],t_l,t_r,t_k;int N_rank[maxN];int main(){std::scanf("%d",&T);while (T--){std::scanf("%d %d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;++i){std::scanf("%d",nums+i);pos[i] = {nums[i],i};}std::sort(pos+1,pos+n+1);for (int i=1;i<=n;++i) N_rank[pos[i].pos] = i;clear();// insert into empty treefor (int i=1;i<=n;++i){Tree[i] = Tree[i-1];update(Tree[i],1,n,N_rank[i]);  }  for (int i=0;i<m;++i)  {  std::scanf("%d %d %d",&t_l,&t_r,&t_k);  std::printf("%d\n",pos[query(Tree[t_l-1],Tree[t_r],1,n,t_k)].x);}}}

好，现在让我们正式开始。

首先是两个二傻子的对话：

二傻子A：你看这题还不简单，每次QSort一遍取第k个数不就结了。

二傻子B：是呀是呀，。。。

（Time Limit Exceed）

二傻子A：卧槽有n=1e5个数和m=1e5组查询。。这O(nmlogn)的复杂度。。

二傻子B：额，那就线段树吧，查询每次都logn岂不是美滋滋。

二傻子A：所言极是。

（Memory Limit Exceed）

二傻子A：卧槽你开了几颗线段树？

二傻子B：emmmmm，不多，也就十万颗左右吧。

二傻子A：。。。。。。。

然后二傻子A经过一晚上的思考

二傻子A：嘿B，你每次新建线段树时需要更新几个节点？

二傻子B：emmmmmm，大概logn个吧。

二傻子A：你能不能把这些线段树合并一下，比如说那些相同的节点就不要新建了？

二傻子B：emmmmmm。。。。

于是二傻子B开始合并线段树。鉴于二傻子B的码力实在是欠佳，他花了大概三小时才写出如上的代码。

（Accept！）

于是俩二傻子特别高兴，他们决定让二傻子C来写这篇blog。

（以上对话发生在二傻子C的脑海中，二傻子AB现实中并不存在，真实存在的是二傻子C，所有动作也由二傻子C来完成）

好！废话就到这里，现在让二傻子C来为各位分析一下代码。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>typedef long long ll;const constexpr int maxN = 1e5 + 5;const constexpr int MAXN = 40*maxN;int left[MAXN];int right[MAXN];int sum[MAXN];int Tree[MAXN];int cnt;

先看这几行。

前6行不解释，自己想。

left---某个节点的左儿子

right---某个节点的右儿子

sum---某个节点的大小（初始时空树大小为0），即该节点内出现了多少个数。

Tree---第i颗树的根（为啥不叫root？因为二傻子C实在是太傻了，傻到写这篇博客时才明白这个是树根）

cnt---目前有多少个节点

恩，相信明白人都看懂了，这实际上是一棵可持久化线段树（主席树），不过二傻子C并不是明白人，他决定继续往下写。

好，我们知道线段树每次单点修改需要自上而下修改logn个节点，n个节点中的绝大部分并没有修改。二傻子C考虑这样一个过程：

1.建立一颗空树。

2.按一定顺序向空树中添加节点，添加时按照普通线段树单点修改的方式进行，但是不修改原有节点，而是建立新节点。每个节点存储区间内的值出现了多少次（sum数组）。

3.查询时，查询某两次添加的过程中发生了什么。

现在，问题变成了应该按什么顺序添加节点，又该查询哪两次添加的过程中发生了什么。

考虑到我们需要查询区间第k小，我们可以先离散化所有的点（连二傻子C都知道该怎么离散化，不知道的同学请自行百度），然后按照原顺序从左向右依次插入每个节点的rank（相同的节点值需要有不同的rank，比如序列3 3 1 2 1的rank可以是4 5 2 3 1，也可以是5 4 1 3 2，等等）。考虑前i-1次插入和前j次插入，如果将二者的结果相减，我们正好可以得到[i,j]区间内的值的rank。

换言之，考虑第j次插入后，全区间的左半部分（左儿子）与第i-1次插入后，全区间的左半部分（左儿子）之差（设其为t，则t表示[i,j]内有多少个数落在总区间的左半部分），若t>=k，则区间第k小一定出现在左子区间内（线段树左子区间维护的值一定比右子区间要小），我们只需查询左子区间内第k小数即可。若t<k，同理可知区间第k小一定出现在右子区间内，而左子区间已经出现了t个数，我们只需查询右子区间的第(k-t)小数即可。

明白了原理，现在看查询的代码，是不是感觉很简单呢？（main内以query(Tree[t_l-1],Tree[t_r],1,n,t_k)的格式调用query）

int query(int i,int j,int begin,int end,int k){if (begin == end) return begin;int t = sum[left[j]] - sum[left[i]];int mid = (begin+end)/2;if (t >= k) return query(left[i],left[j],begin,mid,k);else return query(right[i],right[j],mid+1,end,k-t);}

相比查询，插入（update）就显得比较复杂了，我们一行行来分析。

首先注意到，main内调用update时有一句Tree[i] = Tree[i-1]; 这是干啥用的？

开始的开始，我们都是孩子（啊呸）开始的时候我们需要一颗空树（总不能啥都没有凭空建树吧）so，我们定义空树的左右孩子都是0，sum（节点个数）也是0，cnt（总节点数）自然也是0。既然有这么多0，干脆就把他放在0的位置上吧，于是就有了clear()函数。

void clear(){left[0] = 0;right[0] = 0;sum[0] = 0;cnt = 0;}

建新树的时候，每棵树的根节点都需要从上一棵树继承，但是这一条并没有在update里体现（递归建树时不需要继承根节点），所以我们需要这么一句Tree[i] = Tree[i-1]; ，表示第i棵树的根节点继承自第i-1棵树（所以树的编号是从1到n（0是空树），而非从0到n-1）。既然要继承，自然左、右儿子都要继承（更新一会再说），同时由于新节点要加一个数进来，所以sum（区间内有了多少个值）要+1 ；前面说到这些操作都不修改原有节点，而是新建一个节点，我们自然要把新建的节点连接到这棵树上（当now为根节点时，now=cnt表明新建的点为新的根节点；当now为左/右子节点时，now=cnt表明新建的点是新的左/右子节点），接下来就是喜闻乐见的线段树更新，不再赘述（二傻子C前几天刚学会怎么更新线段树）。

讲到这里其实就差不多了，剩下的东西都很简单了。num_pos和N_rank用来离散化，每次把树推倒重建时记得clear，查询得到的是离散化后的下标，要从下标得到真正的值。。。恩都是一些细节问题，不再赘述。（查询区间第k大只需把num_pos的operator<更改一下即可（return (x < n.x); -> return (x > n.x)），有兴趣的同学可以自己尝试。

可喜可贺，写完收工！

最后表达一下怨念，与本文无关。（七夕什么的都去**吧）