【资料】个人对主席树算法的理解

首先借主席树发明人的一段话：

..这个东西是当初我弱不会划分树的时候写出来替代的一个玩意..被一小撮别有用心的人取了很奇怪的名字> <想法是对原序列的每一个前缀[1..i]建立出一颗线段树维护值域上每个数的出现次数，然后发现这样的树是可以减的，然后就没有然后了

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http://blog.csdn.net/sprintfwater/article/details/9162041
首先定义：

a[MAXN],a2[MAXN];struct node{node *ch[2];int siz;node(){ch[0]=ch[1]=NULL;siz=0;}node(node *_ch0,node *_ch1,int _siz):siz(_siz){ch[0]=_ch0,ch[1]=_ch1;}void update(){if (ch[0]) siz+=ch[0]->siz;if (ch[1]) siz+=ch[1]->siz;}}*null=new node(),*root[MAXN]={NULL};

自己理解：


1：前提条件：有N个数字，size个不同的数字。
2：用a[N]存储原来的数字，a2[size]存储排好序的数字；
3：也就是每一个点root【i】都维护着size大小的线段树，而该线段树维护的信息为：在a[1] 到a[i]数字集合中，size种数字分别出现的次数。
4：root[i] - > ch[0] 保存的是排好序，前size/2种数字分别出现的次数，root[i] - > ch[1] 保存的是排好序，后size/2种数字分别出现的次数；


值得注意的是，并不是每个root【i】都必须重新开辟size * log2(size)的空间，比如当新加入的a【i】非常小，那么root[i] ->ch[1]后size/2种数字分别出现的次数
相对于root[i - 1] -> ch[1]是不会变。所以可以只用有孩子指针指向root[i - 1] -> ch[1]所指的节点就可以共用。当新加入的a【i】非常大的时候，那么ch【0】就可以共用。


建树的关键代码：

void make_node(node *&y,node *&x,int l,int r,int t){if (x==NULL) x=null;y=new node();int m=(l+r)>>1;if (l==r)//已经到达叶子节点，{*y=*x;y->siz++;return;}if (t<=a2[m]) {make_node(y->ch[0],x->ch[0],l,m,t);y->ch[1]=x->ch[1];y->update();}else{make_node(y->ch[1],x->ch[1],m+1,r,t);y->ch[0]=x->ch[0];y->update();}}

为了防止new爆T，那可以先用数组存好。




一： 先分析空间复杂度：
每加入一个a【i】时，就会增加log2（size）个新节点，也就是每一层会产生一个新节点。所以空间复杂度为：N * log2(size)


二：当查看一个一个区间中的 第K大值时
在第一层时：
1.先查看这段区间在前size/2个的出现次数是否大于k，如果是，那么第k个，肯定在前size/2中，否则在后size/2中，
那么第k大，就得减去前size/2个出现的次数之和，变为在后size/2种数字中求第(k - 前size/2个出现的次数之和)大
2. 而前size/2个的出现次数可以直接相减可得，比如要看区间L到R，前size/2种数字出现的次数之和，
等于(root[R] - > ch[0] -> size) - (root[L - 1] -> ch[0] - >size)


3.往下层走，只不过就是size变为了size/2，递归下去就可以了。


很容易看出查询一次的时间复杂度为log2(size);


关键代码如下：

void find(node *&x1,node *&x2,int l,int r,int k){if (x1==NULL) x1=null;if (x2==NULL) x2=null;if (l==r) {printf("%d\n",a2[l]);return;}int m=(l+r)>>1;int ls=0;if (x2->ch[0]) ls+=x2->ch[0]->siz;if (x1->ch[0]) ls-=x1->ch[0]->siz;if (ls>=k) find(x1->ch[0],x2->ch[0],l,m,k);else find(x1->ch[1],x2->ch[1],m+1,r,k-ls); }

下面是网上转载的主席树完整代码：
http://blog.csdn.net/sprintfwater/article/details/9156571