HDU--1233 还是畅通工程 （最小生成树） Kruskal算法

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还是畅通工程

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Problem Description
某省调查乡村交通状况，得到的统计表中列出了任意两村庄间的距离。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个村庄间都可以实现公路交通（但不一定有直接的公路相连，只要能间接通过公路可达即可），并要求铺设的公路总长度为最小。请计算最小的公路总长度。

Input
测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出村庄数目N ( < 100 )；随后的N(N-1)/2行对应村庄间的距离，每行给出一对正整数，分别是两个村庄的编号，以及此两村庄间的距离。为简单起见，村庄从1到N编号。
当N为0时，输入结束，该用例不被处理。

Output
对每个测试用例，在1行里输出最小的公路总长度。

Sample Input
3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
4
1 2 1
1 3 4
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 4 5
0

Sample Output
3
5

Hint
Hint

Huge input, scanf is recommended.

Source
浙大计算机研究生复试上机考试-2006年

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知识点

前面说到了并查集，那今天所要讲的kruskal算法就是并查集的一个重要应用，——- 利用并查集来求出一个无向带权图的最小生成树。

至于什么是无向带权图，在离散数学里会有详细介绍，我的功力还是说不清楚这到底是个什么玩意，虽然我也已经学过了离散数学，但，并没有什么鸟用。

那么什么又是最小生成树呢？

  我的理解是在原无向图的顶点不变且图是连通状态的情况下，使得连接顶点之间的边的权值总和最小且边最少，在这种情况下生成的树叫做原图的最小生成树。

至于这个算法的应用那就很广泛了，这个入门的畅通工程就是应用之一啊。

那接下来我们就来看看如何应用并查集来构造最小生成树。

 首先我们要知道我们在达到目的之前，我们面临着什么问题。 1.如何从一个无向图中如何找到权值总和最小的树。 2.我们应该从给定的无向带权图的哪个方面来入手？

好了，我们知道，图是由顶点和边构成的，我们想要使得原图的生成树的权值最小，我们可以有两个着手点:

        1.从顶点开始，选择连接这个顶点所有的边中权值最小的那一条，然后到达下一个顶点，在按照这种方法到达下一个顶点，直到遍历过所有的顶点，那这样就可以做到每条边的权值都最小，总的权值和就会达到最小，我们的目的就达到了。(这便是prim算法的思想，这个我会在接下来的博客里讲到)。        2.从给定的原图的各条边开始，选取连接每个顶点的权值最小的边，直到将所有顶点连通且不形成环，那么我们同样也能达到目的。这就是kruskal算法的思想。

有了总体的思路，我们开始细化问题。

  1.我们要选择权值最小的边。  2.我们要保证各个顶点之间是连通的；  3.不能形成环；

解决问题 1

   我们可以通过使用结构体来存储顶点和权值的信息，然后用sort排序，来达到目的。

解决问题 2

  既然我们说到是利用并查集来解决这个最小生成树问题，那么我们在这里的连通就可以看作是属于在同一个集合里，我们用并查集的操作来对符合条件的边进行选取。

解决问题 3

     不能够形成环，那在并查集里也就意味着标志元素相同的两个顶点不能进行连接。

需要解决的问题大概就是这么多，我们通过这道题具体的来“Show you code”

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>#include<iostream>using namespace std;struct Node{    int u,v,weight; // 存储顶点，权值 }node[10000];int mark[105]; //  并查集里的标记数组 bool cmp(Node x, Node y){    return x.weight < y.weight; //  按照权值大小从小到达进行排序 }int find(int x){    return mark[x] == x ? x : mark[x] = find(mark[x]);}void join(int x, int y){    int r1 = find(x);    int r2 = find(y);    if(r1 < r2)  //  我们按照统一的标准一致以数值较小的顶点作为根节点         mark[r2] = r1;//  此处需注意，我们要更改的是最终的根节点而不是根节点的某一个子节点     else if( r1 > r2 )//  所以不能写成 mark[x] = r1;         mark[r1] = r2;}int main(){    int n,m;//  n,表示村与村之间的距离的组数，m表示村庄的总个数     while( scanf("%d", &m) != EOF && m)    {        n = (m*(m-1))/2;            for ( int i = 0; i < n; i ++)        {            scanf ("%d %d %d", &node[i].u, &node[i].v, &node[i].weight);        }         sort( node, node+n,cmp); // 排序         for( int i = 1; i <= m; i ++)        {            mark[i] = i ;        }        int ans=0;        for ( int i = 0; i < n; i ++ )        {            if( find(node[i].u) != find(node[i].v) ) // 两个顶点不会形成环，且满足当前边是未选边中最小的                 {                    join( node[i].u,node[i].v);                     ans += node[i].weight; // 统计权值                 }        }        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}

如有错误或者是解释不当的地方，敬请指正