动态规划 ① HDU-2062 Subset Sequence

问题重述：

Consider the aggregate An= { 1, 2, …, n }. For example, A1={1}, A3={1,2,3}. A subset sequence is defined as a array of a non-empty subset. Sort all the subset sequece of An in lexicography order. Your task is to find the m-th one. 

Lexicography order 的意思是字典排序，所谓字典排序就是“大小优先，长度递增”的排序策略，给一个例子就可以理解了。

A3 = { 1， 2， 3}

所以：A1 = {1}， A2 = { 1,2}，A3 = {1,2,3}，A4 = {1,3}，A5={1,3,2}，...，A15={3,2,1}

问题求解：

设f(n)为An中的Subset Sequence个数，这里 f(1)=1. 经过枚举，f(2) = 4, f(3) = 15.

∴ f(n) = n(f(n - 1) + 1) 

根据字典排序的性质，我们可以把不同开头的Subset划分到一组当中，每组的Subsets个数，也就是相同开头数字的组中，Subsets个数是一致的。如果An集合的互异数字个数为n，那么令组内子集数目为g(n)，那么g(n) = f(n)/n。根据上述推导，得出如下的状态转移方程：g(n) = (n - 1)g(n - 1) + 1. 以测试数据n = 3，m = 10为例：f(3) = 15， g(3) = 5.

10/g(3) = 2 …… 0 没有余数，所以第十个子集位于第二组中，所以第一个数字为2。对于这个计算结果，如果余数不为零的情况下则进行向上取整，这个判断过程的数学表达如下：

令组数为epsl，epsl = m/g(n) + (m%g(n) == 0?0 : 1);

删去第二组以前的所有Subsets，10 - (2 - 1)*5 = 5. 去掉2本身之后有 5 - 1 = 4 ！= 0，说明2的后面还有数字。去掉2之后，A3集合中还有两个数1和3. 迭代至下一层后f(2) = 4，g(2) = 2. 

这时的epsl = 2, 位于第二组中，所以第二个数为3,4 - （2 - 1）* 2 - 1 = 1 ！= 0，结果不为零，说明3后面还有一个数字。

以此类推，A10 = {2,3,1}为正确的输出结果，经枚举验证之后，该算法的运行结果正确。

AC Codes in C++：

#include<iostream>//#include<string>using namespace std;//#include<cmath>_int64 g[21];_int64 arr[21];void CantorInit()        //打表初始化{g[0] = 0;g[1] = 1;for (int i = 1; i < 21; i++){g[i] = (i - 1)*g[i - 1] + 1;}}int main(){CantorInit();int n;_int64 m;while (cin>>n>>m){for (int i = 1; i < 21; i++){arr[i] = i;}while (n>0 && m>0){int epsl = m / g[n] + (m%g[n] == 0 ? 0 : 1);if (epsl > 0){cout << arr[epsl];for (int i = epsl; i <= n; i++){arr[i] = arr[i + 1];}m = m - (epsl - 1)*g[n] - 1;if (m != 0){cout << " ";}else{cout << '\n';}}n--;}}//system("pause");return 0;}