CodeVS刷题日记·1842·白银

CodeVS刷题日记（二）

1842 递归第一次

http://codevs.cn/problem/1842/

数学高能预警！！！

数学高能预警！！！

数学高能预警！！！

同学们在做题时常遇到这种函数
f(x)=5 (x>=0)
f(x)=f(x+1)+f(x+2)+1 (x<0)
下面就以这个函数为题做一个递归程序吧

话说这种函数我一点都没碰到过啊！！！

这道题目不应该叫函数第一次吗！！

其实这道题蛮简单的，只要发现一件事情：

f(x)=f([x])（[]为高斯函数(下取整)）

[证]:
设x=[x]+{x}(0≤{x}<1)
若{x}=0，x=[x],得证。
若{x}≠0
f(x)=f(x+1)+f(x+2)+1 (1)
f(x)=f(x+2)+f(x+3)+1+f(x+2)+1=2*f(x-2)+f(x+3)+1
f(x)=2*(f(x+3)+f(x+4)+1)+f(x+3)=……
∵由此种迭代可设f(x)=pf(x+k)+qf(x+k+1)+r(p,q,r,k∈Z,x+k<0)
取k使-1≤x+k<0变形得-1-k≤x<-k
∵[x]∈Z,-k∈Z
∴-1-k≤[x]+{x}<-k
∵0<{x}<1
∴-1-k-{x}∉Z
∴-1-k-{x}≠[x]
∴-1-k< x <-k
假设[x]≠-1-k
若[x]>-1-k即[x]≥-k
则-k>x=[x]+{x}>[x]≥-k
矛盾!
若[x]<-1-k即[x]≤-2-k
则∵-1-k-[x]≥1,[x]+{x}-(-1-k)>0
∴{x}>1
矛盾!
综上[x]=-1-k
∵(x+k+1)>0
∴由上得([x]+k+1)≥-1-k+k+1=0
∴f(x)=pf(x+k)+qf(x+k+1)+r=p(f(x+k+1)+f(x+k+2)+1)+qf(x+k+1)+r
=p(5+5+1)+5q+r
=p(f([x]+k+1)+f([x]+k+2)+1)+qf([x]+k+1)+r
=pf([x]+k)+qf([x]+k+1)+r =f([x])
得证

其实信息竞赛里不一定要你会证，只要有猜想并且猜对了（自己找不出反例），写上去就基本对了，证明是数学竞赛的事。

利用这个结论可以直接取整加入（后来发现数据好像只有整数。。。）

AC代码：

#include< bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,fn[101];
double l;
int f(int n)//递归
{
if(n>=0)
return 5;
else return f(n+1)+f(n+2)+1;
}
int main()
{
int n;
scanf(“%d”,&n);
printf(“%d”,f(n));
}

(关于为什么不用数组储存一下值以便重复利用，我是开了一个的，但是忘了储存……）

后记：
其实当初我是以为要读入小数，然后自己写取整。
一气之下求出了这个玩意的通项公式：（以x∈Z举例,其余利用上方结论）

取m=-x
f(m)= +f(m-2)+1
f(m-1)=f(m-2)+f(m-3)+1
消去常数
f(x)=2f(x-1)-f(x-3
利用特征方程
x^3-2x^2+1=0
x1=1
x2=(-1+sqrt(5))/2
x3=(-1-sqrt(5))/2
代入计算得:(我已经不知道算的对不对了…脑袋已经昏了)
f(m)=19-7*((-1+sqrt(5))/2)^m+((-1-sqrt(5))/2)^m)

(此时正在思考为什么要算这个)
没错你们可以用快速幂了
但首先你得把(-1±sqrt(5))/2)写进去….