补码正确性的证明

虽然不知道大牛怎么想到这样解决补码的正负表示问题1，但这种解决办法的正确性倒是可以尝试证明一下。

首先需要明确什么叫正确性，充要条件暂时没有想到，先列举几个必要条件，至少这些条件需要能成立：

1. 本身的值表示正确
2. 本身的符号表示正确
3. 运算结果的值表示正确
4. 运算结果的符号表示正确

接下来证明每一个条件：

本身的值表示正确、运算结果的值表示正确

一定正确，左边加一位对值来说是完全不影响的，可以从两个角度分析

1. 左边加1就等于加了一个模
2. 左边是高位，本身的运算只会向高位进位，完全不会影响低位的运算

本身的符号表示正确

只要用这个符号系统表示，就会自然正确

运算结果的符号表示正确

没想到好办法，只能分情况讨论。

• 假设一个具体的情形方便举例：4位二进制，1位符号位，模是8，使用补码的表示范围是-8~7。
• 另外把数学数字运算的结果称为「数学结果」，把通过这种位算法运算的结果称为「位运算结果」，这两个结果的符号一致就表示正确。
• 根据符号位是否会受值位运算的结果影响分为两大类，其中又根据具体情况细分。

1）值的位运算不溢出

1. 两个正数 符号一致
   
   1. 数学结果：两个正数相加还是正数，符号一定为正
   2. 位运算结果：因为值的位运算不溢出，两个0相加还是0，也就是正
2. 两个负数 情况不存在
   
   1. 数学结果：符号一定为负
   2. 位运算结果：值的位运算不溢出，两个1相加进一位得到0，也就是正
   3. 看起来两个结果的符号一定不一致。但其实可以证明这种「值的位运算不溢出」情况下「数学运算结果一定溢出」，而数学运算结果溢出的情况不用考虑，我们不保证这种情况下运算结果的正确性
   4. 证明：
      
      1. 假设负数A的补码表示是[1a1a2a3]，它的数学大小 =−8+(a1∗22+a2∗2+a3)，设右侧为A，那么数学大小 =−8+A
      2. 假设负数B的补码表示是[1b1b2b3]，它的数学大小 =−8+(b1∗22+b2∗2+b3)，设右侧为B，那么数学大小 =−8+B
      3. 那么“值的位运算不溢出”这个条件用数学表示就是 A+B<8
      4. 这时候计算数学运算结果：−8+A−8+B=−16+A+B，因为A+B<8，所以这个结果一定小于−8，而它的表示范围是−8 7，所以溢出了
3. 一正一负
   
   1. 正数绝对值大于负数 情况不存在
      
      1. 数学结果：正
      2. 位运算结果：0和1相加得到1，也就是负
      3. 虽然结果不一致，但是可以证明这种情况不存在，也就是「正数绝对值大于负数」时「值的位运算一定溢出」
      4. 证明：
         
         1. 假设正数A的补码表示是[0a1a2a3]，它的数学大小 =a1∗22+a2∗2+a3=A
         2. 假设负数B的补码表示是[1b1b2b3]，它的数学大小 =−8+(b1∗22+b2∗2+b3)=−8+B
         3. 「正数绝对值大于负数」的数学表示是 A−8+B>0⇒A+B>8
         4. 「值的位运算」结果为A+B，它一定大于8就说明溢出了
   2. 正数绝对值小于负数 符号一致
      
      1. 数学结果：负
      2. 位运算结果：0和1相加得到1，也就是负
   3. 正数绝对值等于负数 情况不存在
      
      1. 位运算结果需要是0，而如果值位不溢出，符号一定为负，其实通过「正数绝对值大于负数」这个证明可能看出，正数绝对值等于负数时值位也一定溢出

2）值的位运算溢出

1. 两个正数 情况不存在
   
   1. 两个正数的值位运算溢出意味着运算结果大于8，意味着数学运算结果溢出，不考虑
2. 两个负数 符号一致
   
   1. 数学结果：一定是负的
   2. 位运算结果：两个1相加是0，但是有进位，如果进位为1就没问题，那进位会不会是2呢？不会，因为后三位最大是7，两个7是14，不超过16，所以结果也是负数
3. 一正一负
   
   1. 正数绝对值大于等于负数 符号一致
      
      1. 数学结果：正
      2. 位运算结果：0和1相加得到1，溢出1位得到0，也就是正
   2. 正数绝对值小于负数 情况不存在
      
      1. 数学结果：负
      2. 位运算结果同上，为正
      3. 但这种情况不存在，也就是「正数绝对值小于负数」一定不「值的位运算溢出」
      4. 证明
         
         1. 假设正数A的补码表示是[0a1a2a3]，它的数学大小 =a1∗22+a2∗2+a3=A
         2. 假设负数B的补码表示是[1b1b2b3]，它的数学大小 =−8+(b1∗22+b2∗2+b3)=−8+B
         3. 「正数绝对值小于负数」数学表示是 A−8+B<0⇒A+B<8，说明值的位运算一定不溢出

总结以上对于「运算结果的符号表示正确」的证明，所有存在的情况中，符号都是一致的，所以运算结果的符号表示也是正确的。

结论

综上所述，4个条件均成立，所以从目前来看，补码的正确性是可以保证的。

---

1. 见计算机中整数为什么以「补码」的形式存储？ ↩