关于最大流增广路径算法的正确性的证明

最大流增广路径算法也叫Ford-Fulkerson算法，这个算法的思想很简单。即找一条从s到t的增广路径，然后对找到的增广点列进行流值的修改，一直迭代直到没有增广路径结束。

具体步骤：

D=｛V，A，s，t，c｝中每一条弧的值初始化为0

1.  s是源点，设点集 U=｛s｝，弧的集合 B为空集 ；

2.  弧 a 满足下列条件之一则加入U;

     (1) a 流出U  &&  f (a) <  c (a) ; a加入B；

     (2) a 流入U  &&  f (a)  > 0 ; a加入B；

3.  重复2。

4.  (1) 若U中没有 t 则 f 是最大流；

     (2) 若U中有 t 则 f 不是最大流，且进行如下步骤；

          ①  从 B 中找到一个 s 到 t 的增广路径 s-X1-X2······Xm-t 。（其实是点列）

                  ②  改变点列上每一条弧的值 

如果点列是顺着弧 a 的方向的则 f (a) = f (a) + 1;

如果是逆着弧 a 的方向的则 f (a) = f (a) - 1;

  ③  其它弧上的流大小不改变。

          ④  s -> t 的流增加1，转到1。

现在证明 f 是最大流的充要条件是不存在增广路径

“=>”这个方向很明显，如果存在一条增广路径则 f 可以增加，f显然不是最大流。

"<="方向比较复杂，我们先证明任意的流小于等于任意一个极小割的容量。

这个很明显，设定一个有效的流，因为每一个极小割可以把图分为两部分A和B，对于s和t之外的每一个点x，流向x的量等于从x流出的量，所以从A流向B的流和网络的流相等且 <= 这个极小割的容量，这个割是任意的。

由于图中每条弧的容量确实，所以最大流确定，由于每一轮算法 f 的值增加1，所以最终能得到一个不含t的点集U，(3)结束后点集U划分了一个 s - t 割 ，并且把图分成A和B两部分，U中包含所有s能达到的顶点。由于不存在增广路径，则对于 s-t 割中所有流出U的弧有 f(u,v) == c(u,v)，对于所有流入U的弧有 f (u,v) == 0 ；如果 s-t 割不是最小割 ，则存在一个割的容量小于 f 也和前面的证明产生矛盾，所以此时 s-t 割是最小割。把 s-t 割中的每条弧的流值相加得到从 A 流向 B 的流，也是整个网络的流f。显然由每条边 f(u,v) = c(u,v) 知 f == c (s - t)。若 f 不是最大流，则存在 f ’ > f ，则 f ‘ 大于 s-t 割的容量，和前面的证明矛盾，所以 f 是最大流，同时最大流也等于最小割，"<="方向成立。

然后是算法的完善：

每一次的f值可以增加 Min｛c(s,x1)-f(s,x1) , c(x1,x2) - f(x1,x2) ······,c(xm,t)-f(xm,t) ｝;因为若Min｛c(s,x1)-f(s,x1) , c(x1,x2) - f(x1,x2) ······,c(xm,t)-f(xm,t) ｝< 1 ，则增加 1 之后一定能找到一条相同的增广路径。所以不妨一次性使这条路径达到饱和！

by zhr2010