[NOIP模拟赛]吃糖果

题目描述
小D有一包糖果和N张卡片。每张卡片上都有一个正整数Pi。小D想这样吃糖果，他把两张卡片用线串起来，如果两张卡片上的数字分别为Pa和Pb，他就吃掉min(Pa%Pb，Pb%Pa)的糖果。
他想最终把所有的卡片都串起来——即提起一张卡片，就可以将其他卡片都提起。请问他最少需要吃掉多少糖果。

输入格式

第一行包含一个正整数N（1≤N≤10^5）
接下来N行，每行一个正整数Pi（1≤Pi≤10^7）

输出格式

有且只有一行，输出答案。

输入样例
3
4
9

15

输出样例

4

题解：最小生成树

如果两张卡片上的数相等，那么他们之间边权为0，可以将他们看做一个顶点。于是我们只需要考虑卡片上的互不相等的情况。
设卡片的最大值为maxz，注意到maxz不超过10^7，将卡片按值由小到大排序，对于某张卡片i，设它的值为pi。以pi为周期，将[pi,maxz]分为若干个区间，最后一个区间可能不足pi。在每个区间找到模pi的值最小的卡片，将该卡片和卡片i连边。特别的，第一个区间即[pi,2*pi-1]，要注意不能找第i张卡片本身。
我们只需要在刚才连的边中求一个最小生成树即可。

此时的边数最多为maxz*log(maxz)。
然后注意边权在10^7以内，所以，我们可以使用计数排序。这样，时间复杂度为O(N+maxz*log(maxz))

#include<cstdio>#include<vector>using namespace std;const int N=1e5+10;const int M=1e7;int n, p[N], rot[N], h[N], cnt[M+5];int Root( int x ) {if( !rot[x] ) return x;return rot[x]=Root( rot[x] );}int realv[M+5];//realv[i]:记录原值为i的位置被修改后的值int pos[M+5];//pos[i]:记录i这个值最先出现的标号struct node{ int s, e; node() {} node( int a, int b ) { s=a; e=b; } };vector<node> edge[M+5];long long sum;int main() {scanf( "%d", &n );for( int i=1; i<=n; i++ ) {scanf( "%d", &p[i] );realv[ p[i] ]=p[i];if( !pos[ p[i] ] ) pos[ p[i] ]=i;}for( int i=M; i>=0; i-- )if( !realv[i] ) realv[i]=realv[i+1];for( int i=1; i<=n; i++ ) {if( cnt[ p[i] ]++ ) continue;if( realv[ p[i]+1 ] )//特殊处理第一个区间[ p[i], 2*p[i] )if( realv[ p[i]*2 ]!=realv[p[i]+1] || p[i]*2>M )edge[ realv[p[i]+1]-p[i] ].push_back( node( i, pos[ realv[p[i]+1] ] ) );for( int j=p[i]*2; j<=M && realv[j]; j+=p[i] )if( realv[ j+p[i] ]!=realv[j] || j+p[i]>M )edge[ realv[j]-j ].push_back( node( i, pos[ realv[j] ] ) );}for( int i=0; i<=M; i++ )for( int j=0; j<(int)edge[i].size(); j++ ) {int s=Root( edge[i][j].s ), e=Root( edge[i][j].e );if( s!=e ) {if( h[s]<h[e] ) rot[s]=e;else rot[e]=s;if( h[s]==h[e] ) h[s]++;sum+=i;}}printf( "%I64d\n", sum );return 0;}