递归
来源：互联网 发布：ios10越狱软件源 编辑：程序博客网 时间：2024/09/21 08:15
示例：
例1 阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为：
n! = 1 n = 0 (边界条件)
n! = n(n-1)! n > 0 (递归方程)
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
实现：
/* 主题：阶乘使用递归和非递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.05
*/
#include <iostream>
using namespace std;
// factorial implement by recursive
long factorial_recursive(long n)
{
if (n == 0)
return 1;
return n * factorial_recursive(n-1);
}
// factorial implement by loop
long factorial_loop(long n)
{
long result = 1;
for (int i = n; i > 0; -- i)
result *= i;
return result;
}
int main()
{
for (int i = 0; i < 10; i ++ ) {
cout << i << "!" << " = "
<< factorial_recursive(i)
<< ","
<< factorial_loop(i)
<< endl;
}
return 0;
}
例2 Fibonacci数列
无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
F(n) = 1 n = 0 (边界条件)
F(n) = 1 n = 1 (递归方程)
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) n > 2 (递归方程)
实现：
/* 主题：fibonacci数列使用递归和非递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.05
*/
#include <iostream>
using namespace std;
// fibonacci implement by recursive
long fibonacci_recursive(long n)
{
if (n <= 1 )
return 1;
return fibonacci_recursive(n - 1)
+ fibonacci_recursive(n - 2);
}
// fibonacci implement by loop
long fibonacci_loop(long n)
{
if (n == 0 || n == 1)
return 1;
long f1 = 1;
long f2 = 1;
long result = 0;
for (long i = 1; i < n ; ++ i) {
result = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = result;
}
return result;
}
int main()
{
cout << "fibonacci implement by recursive: " << endl;
for (long i = 0; i <= 20; ++ i)
cout << fibonacci_recursive(i) << " " ;
cout << endl << endl;
cout << "fibonacci implement by loop: " << endl;
for (long i = 0; i <= 20; ++ i)
cout << fibonacci_loop(i) << " " ;
cout << endl;
return 0;
}
例3 Ackerman函数
当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。
Ackerman函数A(n，m)定义如下：
A(1,0) = 2
A(0,m) = 1 m >= 0
A(n,0) = n + 2 n >= 2
A(n,m) = A(A(n-1,m),m-1) n,m >= 1
前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n - 1) * n
本例中的Ackerman
A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：
M = 0时，A(n,0)=n+2
M = 1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0) = A(n-1,1)+2，和 A(1,1)=2故A(n,1)=2*n
M = 2时，A(n,2) = A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。
M = 3时，类似的可以推出
M = 4时，A(n,4)
学式子来表示这一函数。
实现：
/* 主题：ackerman函数使用递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.05
*/
#include <iostream>
using namespace std;
// ackerman implement
long ackerman(long n,long m)
{
if (n == 1 && m == 0)
return (long)2;
if (n == 0)
return 1;
if (m == 0)
return n + 2;
return ackerman( ackerman(n-1,m) , m-1);
}
int main()
{
cout << "m = 0 : " << endl;
cout << "ackerman(1,0) = " << ackerman(1,0) << endl;
cout << "ackerman(2,0) = " << ackerman(2,0) << endl;
cout << "ackerman(3,0) = " << ackerman(3,0) << endl;
cout << "ackerman(4,0) = " << ackerman(4,0) << endl;
cout << "m = 1 : " << endl;
cout << "ackerman(1,1) = " << ackerman(1,1) << endl;
cout << "ackerman(2,1) = " << ackerman(2,1) << endl;
cout << "ackerman(3,1) = " << ackerman(3,1) << endl;
cout << "ackerman(4,1) = " << ackerman(4,1) << endl;
cout << "m = 2 : " << endl;
cout << "ackerman(1,2) = " << ackerman(1,2) << endl;
cout << "ackerman(2,2) = " << ackerman(2,2) << endl;
cout << "ackerman(3,2) = " << ackerman(3,2) << endl;
cout << "ackerman(4,2) = " << ackerman(4,2) << endl;
cout << "m = 3 : " << endl;
cout << "ackerman(1,3) = " << ackerman(1,3) << endl;
cout << "ackerman(2,3) = " << ackerman(2,3) << endl;
cout << "ackerman(3,3) = " << ackerman(3,3) << endl;
cout << "ackerman(4,3) = " << ackerman(4,3) << endl;
return 0;
}
例4 排列问题
设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。
设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，
。
集合X中元素的全排列记为perm(X)。
(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：
当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R
当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。
/* 主题：全排列使用递归和非递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.07
*/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <iterator>
using namespace std;
/* 使用递归实现
* 递归产生所有前缀是list[0:k-1]，
* 且后缀是list[k,m]的全排列的所有排列
* 调用算法perm(list,0,n-1)则产生list[0:n-1]的全排列
*/
template <class T>
void perm_recursion(T list[],int k,int m)
{
// 产生list[k:m]的所有排列
if (k == m) {
for (int i = 0; i <= m; i ++)
cout << list[i] << " ";
cout << endl;
}
else {
// 还有多个元素，递归产生排列
for (int i = k; i <= m; ++ i) {
swap(list[k],list[i]);
perm_recursion(list,k+1,m);
swap(list[k],list[i]);
}
}
}
// 非递归实现（可参照STL next_permutation源码）
template <class T>
void perm_loop(T list[],int len)
{
int i,j;
vector<int> v_temp(len);
// 初始排列
for(i = 0; i < len ; i ++)
v_temp[i] = i;
while (true) {
for (i = 0; i < len; i ++ )
cout << list[v_temp[i]] << " ";
cout << endl;
// 从后向前查找，看有没有后面的数大于前面的数的情况，若有则停在后一个数的位置。
for(i = len - 1;i > 0 && v_temp[i] < v_temp[i-1] ; i--);
if (i == 0)
break;
// 从后查到i，查找大于 v_temp[i-1]的最小的数，记入j
for(j = len - 1 ; j > i && v_temp[j] < v_temp[i-1] ; j--);
// 交换 v_temp[i-1] 和 v_temp[j]
swap(v_temp[i-1],v_temp[j]);
// 倒置v_temp[i]到v_temp[n-1]
for(i = i,j = len - 1 ; i < j;i ++,j --) {
swap(v_temp[i],v_temp[j]);
}
}
}
int main()
{
int list[] = {0,1,2};
cout << "permutation implement by recursion: " << endl;
perm_recursion(list,0,2);
cout << endl;
cout << "permutation implement by loop: " << endl;
perm_loop(list,3);
cout << endl;
return 0;
}
例5 整数划分问题
将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk，其中n1≥n2≥…≥nk≥1，k≥1。
正整数n的这种表示称为正整数n的划分。正整数n的不同划分个数称为正整数n的划分数，记作p(n)。
例如正整数6有如下11种不同的划分，所以p(6) = 11：
6；
5+1；
4+2，4+1+1；
3+3，3+2+1，3+1+1+1；
2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；
1+1+1+1+1+1。
前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。
在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：在正整数n的所有不同划分中，将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
(1) q(n,1)=1,n >= 1;当最大加数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式，
即n = 1 + 1 + 1 + … +1.
(2) q(n,m) = q(n,n),m >= n; 最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。(3) q(n,n)=1 + q(n,n-1); 正整数n的划分由n1=n的划分和n1 ≤ n-1的划分组成。
(4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),n > m >1;正整数n的最大加数n1不大于m的划分由 n1 = m的划分和n1 ≤ m-1 的划分组成。
前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。
在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
q(n,m) = 1 n = 1, m = 1
q(n,m) = q(n,n) n = 1, m = 1
q(n,m) = 1 + q(n,n-1) n = m
q(n,m) = q(n,m-1) + q(n-m,m) n > m > 1
正整数n的划分数p(n) = q(n,n)。
实现：
/* 主题：整数划分使用递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.07
*/
#include <iostream>
using namespace std;
//
int __int_partition(int n,int m)
{
if (n < 1 || m < 1)
return 0;
if (n == 1 || m == 1)
return 1;
if (n < m)
return __int_partition(n,n);
if (n == m)
return __int_partition(n,m - 1) + 1;
return __int_partition(n,m - 1) + __int_partition(n - m,m);
}
int integer_partition(int n)
{
return __int_partition(n,n);
}
int main()
{
for (int i = 1; i < 7; ++ i) {
cout << "integer_patition("
<< i
<< ") = "
<< integer_partition(i)
<< endl;
}
return 0;
}
例6 Hanoi塔问题
设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：
规则1：每次只能移动1个圆盘；
规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；
规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
实现：
/* 主题：hanoi使用递归实现
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Code::Blocks 10.05
* 时间: 2010.10.07
*/
#include <iostream>
using namespace std;
void __move(char t1,char t2)
{
cout << t1 << " -> " << t2 << endl;
}
// 把n个圆盘，从t1塔移至t2塔通过t3塔
void hanoi(int n,char t1,char t2,char t3)
{
if (n > 0) {
hanoi(n-1,t1,t3,t2);
__move(t1,t2);
hanoi(n-1,t3,t2,t1);
}
}
int main()
{
cout << "hanoi(1,'a','b','c'): " << endl;
hanoi(1,'a','b','c');
cout << endl;
cout << "hanoi(1,'a','b','c'): " << endl;
hanoi(2,'a','b','c');
cout << endl;
cout << "hanoi(3,'a','b','c'): " << endl;
hanoi(3,'a','b','c');
cout << endl;
return 0;
}
递归小结
优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。
缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。
1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
2、用递推来实现递归函数。
3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。
