递归

RE：c语言经典算法
四、递归　
　 递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。　
　 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。　
【问题】　 编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。　
　 斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：　
　　　fib(0)=0;　
　　　fib(1)=1;　
　　　fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)　　　（当n>1时）。　
写成递归函数有：　
int fib(int n)　
{　 if (n==0)　　　return　0;　
　 if (n==1)　　　return　1;　
　 if (n>1)　　　return　fib(n-1)+fib(n-2);　
}　
　 递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是说，为计算fib(n)，必须先计算fib(n-1)和fib(n-2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。依次类推，直至计算fib(1)和fib(0)，分别能立即得到结果1和0。在递推阶段，必须要有终止递归的情况。例如在函数fib中，当n为1和0的情况。　
　 在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐级返回，依次得到稍复杂问题的解，例如得到fib(1)和fib(0)后，返回得到fib(2)的结果，……，在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的结果后，返回得到fib(n)的结果。　
　 在编写递归函数时要注意，函数中的局部变量和参数知识局限于当前调用层，当递推进入“简单问题”层时，原来层次上的参数和局部变量便被隐蔽起来。在一系列“简单问题”层，它们各有自己的参数和局部变量。　
　 由于递归引起一系列的函数调用，并且可能会有一系列的重复计算，递归算法的执行效率相对较低。当某个递归算法能较方便地转换成递推算法时，通常按递推算法编写程序。例如上例计算斐波那契数列的第n项的函数fib(n)应采用递推算法，即从斐波那契数列的前两项出发，逐次由前两项计算出下一项，直至计算出要求的第n项。　
【问题】　 组合问题　
问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。例如n=5，r=3的所有组合为：　 （1）5、4、3　　　（2）5、4、2　　　（3）5、4、1　
　　　　 （4）5、3、2　　　（5）5、3、1　　　（6）5、2、1　
　　　　 （7）4、3、2　　　（8）4、3、1　　　（9）4、2、1　
　　　　 （10）3、2、1　
　 分析所列的10个组合，可以采用这样的递归思想来考虑求组合函数的算法。设函数为void　comb(int m,int k)为找出从自然数1、2、……、m中任取k个数的所有组合。当组合的第一个数字选定时，其后的数字是从余下的m-1个数中取k-1数的组合。这就将求m个数中取k个数的组合问题转化成求m-1个数中取k-1个数的组合问题。设函数引入工作数组a[ ]存放求出的组合的数字，约定函数将确定的k个数字组合的第一个数字放在a[k]中，当一个组合求出后，才将a[ ]中的一个组合输出。第一个数可以是m、m-1、……、k，函数将确定组合的第一个数字放入数组后，有两种可能的选择，因还未去顶组合的其余元素，继续递归去确定；或因已确定了组合的全部元素，输出这个组合。细节见以下程序中的函数comb。　
【程序】　
# include　 <stdio.h>　
# define　 MAXN　 100　
int　 a[MAXN];　
void　 comb(int m,int k)　
{　 int i,j;　
　 for (i=m;i>=k;i--)　
　 {　 a[k]=i;　
　　　if (k>1)　
　　　　 comb(i-1,k-1);　
　　　else　
　　　{　 for (j=a[0];j>0;j--)　
　　　　　　printf(“%4d”,a[j]);　
　　　　 printf(“/n”);　
　　　}　
　 }　
}　

void main()　
{　 a[0]=3;　
　 comb(5,3);　
}　

RE：c语言经典算法
【问题】　 背包问题　
问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，求从这n件物品中选取一部分物品的选择方案，使选中物品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。　
设n件物品的重量分别为w0、w1、…、wn-1，物品的价值分别为v0、v1、…、vn-1。采用递归寻找物品的选择方案。设前面已有了多种选择的方案，并保留了其中总价值最大的方案于数组option[ ]，该方案的总价值存于变量maxv。当前正在考察新方案，其物品选择情况保存于数组cop[ ]。假定当前方案已考虑了前i-1件物品，现在要考虑第i件物品；当前方案已包含的物品的重量之和为tw；至此，若其余物品都选择是可能的话，本方案能达到的总价值的期望值为tv。算法引入tv是当一旦当前方案的总价值的期望值也小于前面方案的总价值maxv时，继续考察当前方案变成无意义的工作，应终止当前方案，立即去考察下一个方案。因为当方案的总价值不比maxv大时，该方案不会被再考察，这同时保证函数后找到的方案一定会比前面的方案更好。　
对于第i件物品的选择考虑有两种可能：　
（1）　 考虑物品i被选择，这种可能性仅当包含它不会超过方案总重量限制时才是可行的。选中后，继续递归去考虑其余物品的选择。　
（2）　 考虑物品i不被选择，这种可能性仅当不包含物品i也有可能会找到价值更大的方案的情况。　
按以上思想写出递归算法如下：　
try(物品i，当前选择已达到的重量和，本方案可能达到的总价值tv)　
{　 /*考虑物品i包含在当前方案中的可能性*/　
　 if(包含物品i是可以接受的)　
　 {　 将物品i包含在当前方案中；　
　　　if (i<n-1)　
　　　　 try(i+1,tw+物品i的重量,tv);　
　　　else　
　　　　 /*又一个完整方案，因为它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/　
以当前方案作为临时最佳方案保存;　
　　　　 恢复物品i不包含状态；　
　　　}　
　　　/*考虑物品i不包含在当前方案中的可能性*/　
　　　if (不包含物品i仅是可男考虑的)　
　　　　 if (i<n-1)　
　　　　　　try(i+1,tw,tv-物品i的价值)；　
　　　　 else　
　　　　　　/*又一个完整方案，因它比前面的方案好，以它作为最佳方案*/　
以当前方案作为临时最佳方案保存;　
　 }　
　 为了理解上述算法，特举以下实例。设有4件物品，它们的重量和价值见表：　
物品　 0　 1　 2　 3　
重量　 5　 3　 2　 1　
价值　 4　 4　 3　 1