挑战程序竞赛系列（51）：4.2 推理与动态规划算法（4）

详细代码可以fork下Github上leetcode项目，不定期更新。

练习题如下：

• POJ 1740: A New Stone Game

POJ 1740: A New Stone Game

题意没有表述清楚，补充一下：

首先Alice先走，然后每次至少扔掉一个棋子，然后从该堆拿出任意的石子（>=0）进行任意的分配，任意的分配是指可以拿出一部分分给其他还剩有石子的堆（数目自己定），
谁拿最后一堆谁就赢。

这里用到了对称模拟策略，采用这种策略的前提条件是，必然存在唯一的条件使得非对称状态转为对称状态，不过说实话，真不好想。

首先判断对称状态下，先手赢还是后手赢。此处的对称状态为，每堆石头出现的次数是否为偶数，比如 2， 2， 3， 3，这个序列2出现了2次，3出现了2次，为偶数态。

那么不管先手怎么移动石子，后手总能模仿先手的策略并再次构成偶数态，那么先手永远也赢不了，那么只能后手胜了。

接着该策略是否有效，需要证明在奇数态下，是否有唯一的途径能够变成偶数态，很巧，这里隐含的性质，能够证明当存在奇数态的情况下，可以把所有奇数的堆全部变成偶数堆，这样先手经过一次操作，把它变成偶数态，意味着最终先手赢。

证明参考博文：
http://www.hankcs.com/program/algorithm/poj-1740-a-new-stone-game.html

证明：

假设石头堆不是对称的，即每堆石头数量的出现次数至少有一个奇数。则先手可以拿光最大的奇数堆，如果仍然存在奇数堆，则用这堆石头将这些奇数堆填为偶数堆（这么做是一定可能的吗？是的，假设第i种奇数堆为a[i]，a[i].m 为石头个数，a[i].n为堆的个数等于2k+1，顺序按石头个数增序排列。既然我们的目的是配成偶数，那么就不考虑2k了。去掉所有的2k，反正这部分一定是偶数。这样a[i].n=1。我们拿光a[a.length].m，于是最后一个奇数堆不存在了，变为0，也就是偶数。考虑剩下的奇数堆，对任意序列x1,x2,…xn，相邻两项之差的和等于x2-x1 + x3-x2 + … + xn – x_n-1 = xn – x1，一定小于xn，所以拿光的那堆石子一定足够将这些奇数堆填平，具体填平方法是a[i].m += a[i+1].m-a[i].m， i += 2，循环k次。项数为2k都能填平，项数为k肯定能填平）。如此做后，状态等效于偶数态，但先后手交换了顺序，所以奇数态是先手必胜。

证明注意对奇数堆从大小排了序，在选择奇数堆时，自然选择最大的堆来抹平其它奇数堆。

代码如下：

import java.io.BufferedReader;import java.io.File;import java.io.FileInputStream;import java.io.IOException;import java.io.InputStream;import java.io.InputStreamReader;import java.io.PrintWriter;import java.util.StringTokenizer;public class Main{    String INPUT = "./data/judge/201709/P1740.txt";    public static void main(String[] args) throws IOException {        new Main().run();    }    void solve() {        while (true) {            int n = ni();            if (n == 0) break;            int[] count = new int[100 + 16];            for (int i = 0; i < n; ++i) {                count[ni()]++;            }            boolean even = true;            for (int i = 0; i < count.length; ++i) {                if ((count[i] & 1) != 0) {                    even = false;                    break;                }            }            if (even) out.println(0);            else out.println(1);        }    }    FastScanner in;    PrintWriter out;    void run() throws IOException {        boolean oj;        try {            oj = ! System.getProperty("user.dir").equals("F:\\java_workspace\\leetcode");        } catch (Exception e) {            oj = System.getProperty("ONLINE_JUDGE") != null;        }        InputStream is = oj ? System.in : new FileInputStream(new File(INPUT));        in = new FastScanner(is);        out = new PrintWriter(System.out);        long s = System.currentTimeMillis();        solve();        out.flush();        if (!oj){            System.out.println("[" + (System.currentTimeMillis() - s) + "ms]");        }    }    public boolean more(){        return in.hasNext();    }    public int ni(){        return in.nextInt();    }    public long nl(){        return in.nextLong();    }    public double nd(){        return in.nextDouble();    }    public String ns(){        return in.nextString();    }    public char nc(){        return in.nextChar();    }    class FastScanner {        BufferedReader br;        StringTokenizer st;        boolean hasNext;        public FastScanner(InputStream is) throws IOException {            br = new BufferedReader(new InputStreamReader(is));            hasNext = true;        }        public String nextToken() {            while (st == null || !st.hasMoreTokens()) {                try {                    st = new StringTokenizer(br.readLine());                } catch (Exception e) {                    hasNext = false;                    return "##";                }            }            return st.nextToken();        }        String next = null;        public boolean hasNext(){            next = nextToken();            return hasNext;        }        public int nextInt() {            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return Integer.parseInt(more);        }        public long nextLong() {            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return Long.parseLong(more);        }        public double nextDouble() {            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return Double.parseDouble(more);        }        public String nextString(){            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return more;        }        public char nextChar(){            if (next == null){                hasNext();            }            String more = next;            next = null;            return more.charAt(0);        }    }}