前缀、中缀、后缀表达式

算是复习吧=。=

先是看了这个博客。博客给出了中缀转成前缀、后缀表达式的方法（大概和教科书一样）。看了两遍，还是不能完全记住两种表达式的转换流程……emmmmmm，想想怎么理解这两种转换方法。

使用上述博客中的例子，要计算中缀表达式的值，先将其转换为前缀或者后缀表达式：

• 中缀：(3 + 4) × 5 - 6
• 前缀：- × + 3 4 5 6
• 后缀：3 4 + 5 × 6 -

观察三种表达式， 前、后缀表达式和中缀表达式中的数字顺序不变（所以记得最后要调整回原来的顺序），前后缀是运算符相对于数字而言的。

计算表达式（前、后缀）时，遍历表达式，遇到操作数则压栈（操作数栈），遇到运算符则从栈顶弹出两个操作数，计算后压栈。继续遍历，直到结束。（1. 遍历：从操作数开始遍历。对于前缀表达式，操作数在后，从末尾往前遍历；对于后缀表达式，操作数在前，从前往后遍历。 2. 计算：操作数计算的顺序和表达式一致。所以对于前缀表达式，栈顶的操作数在表达式中较前的位置，计算时栈顶op次顶；对于后缀表达式，栈顶的操作数在表达式中较后的位置，计算时次顶op栈顶。）

知道计算的方法之后，回到怎么转换的问题

操作数顺序不变，所以转换过程中，遇到操作数直接压栈。

需要两个栈，一个保存运算符S1，两一个保存中间结果S2.

关于转换的起始位置，前缀是从最后一个开始，后缀是从第一个开始。

中缀-前缀表达式转换

如何确定转换顺序？回到表达式的计算方式，两种表达式计算时进行的每一步运算都是相同的！！！决定计算顺序的是运算符的位置。对于前缀表达式，从末尾开始遍历，遇到数字则压栈，遇到一个运算符将栈顶和次顶取出计算。在中缀-前缀转换时，操作数的入栈S2顺序，应该和计算时一致，即从中缀表达式末尾开始。

关于运算符，先不考虑括号。优先级高的先计算，怎么体现先计算呢？还是回到前缀表达式的计算，一旦遇到运算符就进行计算，所以优先级高的运算符先压入S2；优先级相同，理论上计算顺序不重要。

什么时候将运算符压入S2？不考虑括号，从右往左遍历，遇到操作数直接压入S2，遇到第一个运算符时，S2中只有一个操作数，此时不应将运算符压入S2，先把操作符压入S1保存。压入下一个操作数。

对于第二个运算符，有三种情况：

1. 第一个优先级相同，则可以先将之前的两个操作数用第一个运算符进行计算，将第一个运算符从S1弹出，压入S2；
2. 优先级高于第一个运算符，说明前两个操作数当前不应该计算，将当前运算符压入S1；
3. 优先级低于第一个运算符，之前比当前优先级高的都可以从S1弹出，压入S2，再将当前运算符压入S1.

更一般的说，就是，将S1中优先级大于等于自身的运算符弹出，压入到S2，将当前运算符压入S1，最后将S1中剩余运算符弹出，压入S2。（注意：博客中给出的算法是将S1中优先级大于自身的部分弹出到S2中，与弹出优先级大等于自身相比，式子的结果不变，但前者可以保证计算顺序是从左到右计算（猜测，待验证））

特别的，对于括号，括号内的运算应该先完成。怎样先完成运算？将运算符压入S2，即可认为当前运算符负责的运算完成。所以出现左括号时，将S1中最后一个右括号之后的运算符都弹出并压入S2，丢弃右括号。前缀表达式从后开始遍历，先遇到右括号，直接压入S1；遇到左括号时，将S1中的运算符弹出，压入到S2，直到右括号结束。

括号的优先级？新压入运算符发现S1栈顶为右括号，应该压入S1，可以认为右括号优先级比所有运算符低。当右括号不处于栈顶，且右括号之后的所有运算符优先级都高于当前运算符时，弹出S1到右括号的下一个。

最后是博客中提到的转换方法：

1. 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
2. 从右至左扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压入S2；
4. 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
   4.1 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
   4.2 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
   4.3 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
5. 遇到括号时：
   5.1 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
   5.2 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
6. 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
8. 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。

中缀-后缀表达式转换

与中缀-前缀表达式转换类似的思路，这里仅列出转化流程：

1. 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
2. 从左至右扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压入S2；
4. 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
   4.1 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
   4.2 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
   4.3 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
5. 遇到括号时：
   5.1 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
   5.2 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
6. 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
7. 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
8. 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

对于第4步，在新运算符与S1中的运算符比较优先级时，弹出优先级大等于新运算符的符号，所以有点想