[转载] Catalan数及其应用

来源：互联网发布：免费视频监控软件编辑：程序博客网时间：2024/05/27 08:13

什么是Catalan数

说到Catalan数，就不得不提及Catalan序列，Catalan序列是一个整数序列，其通项公式是我们从中取出的 C_n

就叫做第n个Catalan数，前几个Catalan数是：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, …咋看之下没什么特别的，但是Catalan数却是许多计数问题的最终形式。

Catalan数的一些性质

Catalan数的基本公式就是上个部分所列出的那样，但是却有一些变形和具体的性质：

1、 $C_n = {2nchoose n} - {2nchoose n+1} quad nge 0$

这是根据原来的式子推导出来的，大概过程是这样的： $C_n = frac{1}{n+1}{2nchoose n} = {2nchoose n} - frac{n}{n+1}{2nchoose n} = {2nchoose n} - {2nchoose n + 1}$

2、 $C_0 = 1 quad , quad C_{n+1}=frac{2(2n+1)}{n+2}C_n$

这个递推式很容易可以从原来的式子中获得

3、 $begin{displaymath}C_0 = 1 quad , quad C_{n+1}=sum_{i=0}^{n}C_i,C_{n-i}quad nge 0end{displaymath}$

4、 $begin{displaymath}C_n= frac 1{n+1} sum_{i=0}^n {n choose i}^2end{displaymath}$

5、 $begin{displaymath}C_n sim frac{4^n}{n^{frac{3}{2}}sqrt{pi}}end{displaymath}$

这个是Catalan数的增长趋势。

Catalan数在组合计算中的应用

在《组合数学》（机械工业出版社）一书中，介绍Catalan数是由其一个应用推导出的公式，其具体的描述如下：

n个+1和n个-1构成2n项 a_1,a_2,...,a_n ，其部分和满足 a_1 + a_2 + ... + a_k ge 0 quad , quad 0 le k le 2n 的序列个数等于第n个Catalan数 C_n 。

其证明也不难，我们假设不满足条件的序列个数为 U_n ，那么就有 $C_n + U_n = {2n choose n}$ 。剩下的工作就是求 U_n 了，我们假设有一个最小的k令 a_1 + a_2 + ... + a_k < 0 。由于这里k是最小的，所以必有 $a_1 + a_2 + ... + a_{k - 1} = 0 quad , quad a_k = -1$ ，并且k是一个奇数。此时我们将前k项中的+1变为-1，将-1变为+1,那么就得到一个有(n+1)个+1和(n-1)个-1的序列了，这样的序列个数就是我们要求的 U_n ，数值大小为 $U_n = {2nchoose n + 1}$ 。那么我们就得到了 $C_n = {2nchoose n} - U_n = {2nchoose n} - {2nchoose n + 1}}}$ ，就是我们前面的公式。

在具体的组合数问题中，很多都可以转换为Catalan数进行最后的计算，如下：

1、如上文所说，对于任意的k，前k个元素中-1的个数小等于+1的个数的序列计数，我们可以不停地变换形式，比如将-1看成右括号，+1看成左括号，就变成了合法括号表达式的个数。比如2个左括号和2个右括号组成的合法表达式有 C_2 = 2 种，是()()和(())。

2、既然如上一点都把括号加上去了，那么顺便就再次转换，n+1个数连乘，乘法顺序有 C_n 种，比如我们三个数连乘a*b*c，那么等于在式子上加括号，有2种乘法顺序，分别是(ab)c和a(bc)。貌似对应关系比较模糊，我们取n为3来看看，n为3的时候就是4个数相乘了，那么我们设为abcd，最初的标号定在a上，我们对于n为3得到合法的括号序列有5个，分别是：((()))，()(())，()()()，(())()和(()())，那么我们将一个左括号看成是当前操作数指针往右移动一个位置，一个右括号看成是当前操作数和左边最近的一块操作数相乘起来，那么对应的五个表达式就是：a(b(cd))，(ab)(cd)，((ab)c)d，(a(bc))d和a((bc)d)，他们之间是一一对应关系。

3、n个节点的二叉树的所有可能形态数为 C_n ，这一点很容易证明，我们考虑随便取一个节点作为根，那么他左边和右边的儿子节点个数就确定了，假定根节点标号为x，那么左子树的标号就从1到x-1,共x-1个，右子树的标号就从x+1到n，共n-x个，那么我们的x从1取到n，就获得了所有的情况数 $begin{displaymath}C_n = sum_{i = 0}^{n - 1}C_i,C_{n - i - 1}end{displaymath}$ 。这个式子就是我们性质3的式子。