动态规划思想：石子合并问题

描述：

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。

规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。

试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

      首先我们可以把这么堆石子看成一列

      我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

      •按照贪心法，合并的过程如下：
        每次合并得分
        第一次合并  7  6   5   7    100   =11
   　  第二次合并  7   11     7   100=18
    　 第三次合并  18    7    100 =25
        第四次合并   25   100 =125

        总得分＝11＋18＋25+125＝179

       •另一种合并方案

        每次合并得分
  　 　第一次合并  7  6   5   7    100   ->13
         第二次合并  13   5     7   100->12
         第三次合并  13    12    100 ->25
         第四次合并   25   100 ->125

         总得分＝13＋12＋25+125＝175

         显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

　　　 

         如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　   因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

 

         在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　   当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　   当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

 

        代码实现如下：

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

      首先我们可以把这么堆石子看成一列

      我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

      •按照贪心法，合并的过程如下：
        每次合并得分
        第一次合并  7  6   5   7    100   =11
   　  第二次合并  7   11     7   100=18
    　 第三次合并  18    7    100 =25
        第四次合并   25   100 =125

        总得分＝11＋18＋25+125＝179

       •另一种合并方案

        每次合并得分
  　 　第一次合并  7  6   5   7    100   ->13
         第二次合并  13   5     7   100->12
         第三次合并  13    12    100 ->25
         第四次合并   25   100 ->125

         总得分＝13＋12＋25+125＝175

         显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

　　　 

         如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　   因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

 

         在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　   当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　   当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

 

        代码实现如下：

开始以为通过贪心算法可能很快解决问题，可是是行不通的。

      首先我们可以把这么堆石子看成一列

      我们假如5堆的石子，其中石子数分别为7，6，5，7，100

      •按照贪心法，合并的过程如下：
        每次合并得分
        第一次合并  7  6   5   7    100   =11
   　  第二次合并  7   11     7   100=18
    　 第三次合并  18    7    100 =25
        第四次合并   25   100 =125

        总得分＝11＋18＋25+125＝179

       •另一种合并方案

        每次合并得分
  　 　第一次合并  7  6   5   7    100   ->13
         第二次合并  13   5     7   100->12
         第三次合并  13    12    100 ->25
         第四次合并   25   100 ->125

         总得分＝13＋12＋25+125＝175

         显然利用贪心来做是错误的，贪心算法在子过程中得出的解只是局部最优,而不能保证使得全局的值最优。

　　　 

         如果N－1次合并的全局最优解包含了每一次合并的子问题的最优解，那么经这样的N－1次合并后的得分总和必然是最优的。

　　   因此我们需要通过动态规划算法来求出最优解。

 

         在此我们假设有n堆石子，一字排开，合并相邻两堆的石子，每合并两堆石子得到一个分数，最终合并后总分数最少的。

　　　我们设m(i,j)定义为第i堆石子到第j堆石子合并后的最少总分数。a(i)为第i堆石子得石子数量。

　　　当合并的石子堆为1堆时，很明显m(i,i)的分数为0;

　　   当合并的石子堆为2堆时，m(i,i+1)的分数为a(i)+a(i+1);

　　   当合并的石子堆为3堆时，m(i,i+2)的分数为MIN((m(i,i)+m(i+1,i+2)+sum(i,i+2)),(m(i,i+1)+m(i+2,i+2)+sum(i,i+2));

　　　当合并的石子堆为4堆时......

 

        代码实现如下：

#include<stdio.h> #define N 100 /* *求合并过程中 *最少合并堆数目 **/ int MatrixChain_min(int p[N],int n){        //定义二维数组m[i][j]来记录i到j的合并过成中最少石子数目        //此处赋值为-1         int m[N][N];         for(int x=1;x<=n;x++)        for(int z=1;z<=n;z++)        {            m[x][z]=-1;                   }     int min=0;                                                          //当一个单独合并时，m[i][i]设为0，表示没有石子     for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;                                                          //当相邻的两堆石子合并时，此时的m很容易可以看出是两者之和     for(int i=1;i<=n-1;i++)    {        int j=i+1;        m[i][j]=p[i]+p[j];    }                                                          //当相邻的3堆以及到最后的n堆时，执行以下循环    for(int r=3; r<=n;r++)         for(int i=1;i<=n-r+1;i++)         {             int j = i+r-1;                               //j总是距离i   r-1的距离             int sum=0;                                                          //当i到j堆石子合并时最后里面的石子数求和得sum             for(int b=i;b<=j;b++)                 sum+=p[b];             // 此时m[i][j]为i~j堆石子间以m[i][i]+m[i+1][j]+sum结果，这是其中一种可能，不一定是最优             //要与下面的情况相比较，唉，太详细了             m[i][j] = m[i+1][j]+sum;             //除上面一种组合情况外的其他组合情况             for(int k=i+1;k<j;k++)             {                 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;                 if(t<m[i][j])                     m[i][j] = t;             }         }          //最终得到最优解         min=m[1][n];         return min;        }/* *求合并过程中 *最多合并堆数目 **/  int  MatrixChain_max(int p[N],int n){       int m[N][N];         for(int x=1;x<=n;x++)        for(int z=1;z<=n;z++)        {            m[x][z]=-1;                   }     int max=0;     //一个独自组合时    for(int g = 1;g<=n;g++) m[g][g]=0;    //两个两两组合时    for(int i=1;i<=n-1;i++)    {        int j=i+1;        m[i][j]=p[i]+p[j];    }    for(int r=3; r<=n;r++)         for(int i=1;i<=n-r+1;i++)         {             int j = i+r-1;             int sum=0;             for(int b=i;b<=j;b++)                 sum+=p[b];             m[i][j] = m[i+1][j]+sum;                          for(int k=i+1;k<j;k++)             {                 int t=m[i][k]+m[k+1][j]+sum;                 if(t>m[i][j])                     m[i][j] = t;             }         }         max=m[1][n];         return max;        }int main(){      int stone[N];      int min=0;      int max=0;      int n;      scanf("%d",&n);      for(int i=1;i<=n;i++)          scanf("%d",&stone[i]);      min= MatrixChain_min(stone,n);      max= MatrixChain_max(stone,n);      //因为题目要求圆的原因，要把所有情况都要考虑到，总共有n种情况。      for(int j=1;j<=n-1;j++)      {           int min_cache=0;           int max_cache=0;           int cache= stone[1];           for(int k=2;k<=n;k++)           {               stone[k-1]=stone[k];           }           stone[n]=cache;           min_cache= MatrixChain_min(stone,n);           max_cache= MatrixChain_max(stone,n);           if(min_cache<min)               min=min_cache;           if(max_cache>max)               max=max_cache;      }       printf("%d\n",min);    printf("%d\n",max);    return 1;}