石子合并问题--动态规划;贪心

石子合并问题

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石子合并问题是最经典的DP问题。首先它有如下3种题型：

(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成

分析：当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。

(2)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？

任意合并

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题目

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(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成

分析

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当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。

代码

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/*************************************************************************    > File Name: 1.c    > Author: GatieMe    > Mail: [e-mail]    > Created Time: 2015年10月17日 星期六 19时29分22秒 ************************************************************************/#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int Compare(const void *pleft, const void *pright){    int *left = (int *)pleft;    int *right = (int *)pright;    return (*left - *right);}#define SIZE 100int N;int W[SIZE];int main(void){    while(scanf("%d", &N), N)    {        for(int i = 0; i < N; i++)        {            scanf("%d", &W[i]);        }        for(int i = 0; i < N; i++)        {            qsort(&W[i], N - i, sizeof(W[0]), Compare);#ifdef DEBUG            for(int j = 0; j < N; j++)            {                printf("%4d", W[j]);            }            printf("\n");#endif            // 此时num[i]和num[i + 1]就是最小的两个            W[i + 1] += W[i];        }        printf("%d\n", W[N - 1]);    }}

相邻合并

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题目

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有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：

每次只能移动相邻的2堆石子合并
合并花费为新合成的一堆石子的数量。

求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

分析

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我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式：

代码

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#include <string.h>#include <stdio.h>#include <math.h>const int INF = 1 << 30;#define MIN(a, b)  ((a) > (b) ? (a) : (b))#define N 205int dp[N][N];int sum[N];int a[N];int getMinval(int *a, int n){    for(int i = 0; i < n; i++)    {        dp[i][i] = 0;    }    for(int v = 1; v < n; v++)    {        for(int i = 0;i < n-v; i++)        {            int j = i + v;            dp[i][j] = INF;            int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0);            for(int k = i; k < j; k++)                dp[i][j] = MIN(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + tmp);        }    }    return dp[0][n-1];}int main(){    int n;    while(scanf("%d", &n) != EOF)    {        for(int i = 0;i < n; i++)        {            scanf("%d", &a[i]);        }        sum[0] = a[0];        for(int i = 1; i< n ; i++)        {            sum[i] = sum[i-1] + a[i];        }        printf("%d\n",getMinval(a,n));    }    return 0;}

优化

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#include <string.h>#include <stdio.h>const int INF = 1 << 30;#define N 1005int dp[N][N];int p[N][N];int sum[N];int n;int getMinval(){    for(int i=1; i<=n; i++)    {        dp[i][i] = 0;        p[i][i] = i;    }    for(int len=1; len<n; len++)    {        for(int i=1; i+len<=n; i++)        {            int end = i+len;            int tmp = INF;            int k = 0;            for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)            {                if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)                {                    tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];                    k = j;                }            }            dp[i][end] = tmp;            p[i][end] = k;        }    }    return dp[1][n];}int main(){    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        sum[0] = 0;        for(int i=1; i<=n; i++)        {            int val;            scanf("%d",&val);            sum[i] = sum[i-1] + val;        }        printf("%d\n",getMinval());    }    return 0;}

环形合并

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题目

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在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子(n<= 100)，现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。

编一程序，读入石子堆数n及每堆的石子数(<=20)。选择一种合并石子的方案,使得做n－1次合并,得分的总和最小；

比如有4堆石子：4 4 5 9 则最佳合并方案如下：

4 4 5 9 score: 08 5 9 score: 813 9 score: 8 + 13 = 2122 score: 8 + 13 + 22 = 43

输入：

可能有多组测试数据。 当输入n=0时结束! 第一行为石子堆数n(1<=n<=100)；第二行为n堆的石子每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔。

输出：

合并的最小得分，每个结果一行。

输入样例：

4 4 4 5 9
6 3 4 6 5 4 2
0

输出样例：

43
61

分析

假设有石头Ai,Ai+1,……,Ai+j-1共j堆需要合并,简记为A[i+0,i+j-1].如果设最后一次合并发生在Ak与Ak+1之间(i<=k <=i+j-1),则最后一个合并的得分为

Ai,Ai+1,……,Ai+j-1堆石头的个数的总和记为totalValue(i,j).(不管你最后一次合并发生在哪个位置,totalValue(i,j)的值都是一样的)因此总的得分等于

A[i,k]+A[k+1,i+j-1]+totalValue(i,j).

动态规划思路：
阶段i：石子的每一次合并过程，先两两合并，再三三合并，…最后N堆合并
状态s：每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。
决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案
具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法，s[i][j]表示从第i堆开始数j堆进行合并，s[i,j]为合并的最优得分。

 对例子(3 4 6 5 4 2)来说: 第一阶段：s[1,1]=0,s[2,1]=0,s[3,1]=0,s[4,1]=0,s[5,1]=0,s[6,1]=0，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。 第二阶段：两两合并过程如下，其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和           s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)           s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)           s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)           s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)           s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)           s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2) 第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为一组      s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优(最大或最小)      s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优                                                                       第四阶段：四四合并的拆分方法用三种，同理求出三种分法的得分，取其最优即可。以后第五阶段、第六阶段依次类推，最后在第六阶段中找出最优答案即可。

代码

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#include<iostream>using namespace std;int N;//石子的堆数int num[100]={0};//每堆石子个数int sum(int begin,int n){     int total=0;     for (int i=begin;i<=begin+n-1;i++)     {   if(i==N)              total=total+num[N];//取代num[0]         else              total=total+num[i%N];     }     return total;}int stone_merge(){       int score[100][100];//score[i][j]:从第i堆石子开始的j堆石子合并后最小得分       int n,i,k,temp;       for (i=1;i<=N;i++)                  score[i][1]=0;//一堆石子，合并得分为0       //num[0]=num[N];//重要：sum()函数中i=N时,取num[0]       for (n=2;n<=N;n++)//合并的石子的堆数       {           for (i=1;i<=N;i++)//合并起始位置           {               score[i][n]=score[i][1]+score[(i+1-1)%N+1][n-1];               for (k=2;k<=n-1;k++)//截断位置               {                  temp=score[i][k]+score[(i+k-1)%N+1][n-k];                  if(temp <score[i][n])                         score[i][n] = temp;//从第i开始的k堆是：第i+0堆到第(i+k-1)%N堆               }               score[i][n]+=sum(i,n);           }       }         int min=2147483647;          for (i=1;i<=N;i++)       {    if (min>score[i][N])                             min=score[i][N];//取从第i堆开始的N堆的最小者       }       return min;}int main(){       int min_count=0;       cin>>N;//石子的堆数       while(N!=0)       {           for (int i=1;i<=N;i++)               cin>>num[i];//每堆石子的数量//从1开始,num[0]不用                   min_count=stone_merge();           cout<<min_count<<endl;           for(i=0;i<N;i++)//准备下一轮               num[i]=0;           min_count=0;           cin>>N;       }       return 0;}

数据围成一个环，而实际存储是线性的，这里简化环形取数据，得到新的一种解决方法

优化

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#include<stdio.h>int N;//最多100堆石子:N=100int num[200]={0};int stone_merge(){    int score[200][101]={0};//l[i][j]:从第i堆石子起合并n堆石子的最小得分    int n,i,k,temp;    for(i=0;i<2*N;i++)        score[i][1]=0;//一堆石子合并得分为0    for(n=2;n<=N;n++)//合并n堆石子    {        for(i=0;i<=2*N-n;i++)//从第i对开始合并(有一次重复运算，但省去了循环取数，简化了程序)        {            score[i][n]=score[i][1]+score[i+1][n-1];            for(k=2;k<n;k++)//划分            {   temp=score[i][k]+score[k+i][n-k];                if(temp<score[i][n])                    score[i][n]=temp;//取(i,n)划分两部分的得分            }            for(k=i;k<i+n;k++)                score[i][n]+=num[k];//加上此次合并得分        }    }    int min=2147483647;//int(4位)最大值为2147483647    for(i=0;i<N;i++)    {        if(score[i][N]<min)            min=score[i][N];//从第i堆开始取N堆石子，的最小合并得分    }    return min;}int main(){    int min_count;    scanf("%d",&N);//N堆石子    while(N!=0)    {        for(int i=0;i<N;i++)            scanf("%d",&num[i]);//每堆石子的数量        for(i=N;i<2*N;i++)            num[i]=num[i-N];//复制一倍，化简环形计算（N堆石子是围成一个环的）        if(N==1)    min_count=0;        else if(N==2)    min_count=num[0]+num[1];        else    min_count=stone_merge();        printf("%d\n",min_count);        for(i=0;i<200;i++)    num[i]=0;//准备下一轮        min_count=0;        scanf("%d",&N);    }    return 0;}