相关数学知识
来源:互联网 发布:网络信息安全的定义 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 15:21
数学知识(一)
集合论
举例
学生上课不规矩的概率 = 0.1
P(学生上课不规矩) = 0.1
概率函数的自变数是:事件,而事件是一种集合
集合名词
- 元素
Ex: 1、2、3、4、5
- 集合
Ex:A = {1,2,3,5}
- 子集合
Ex: B = {1,2}
则B是A的子集,表示为
B⊂A - 宇集
Ex:S = {1,2,3,4,5}
- 空集合
Ex:
∅= {}- 交集
Ex:
A⋂B= {1,2}- 与集
A⋃B= {1,2,3,5}- 补集
��=����
概率论
随机事件及其概率
随机变量
随机变量X定义为一个函数X:Ω,它定义了样本空间到实数的映射。
根据函数的取值类型分为离散型随机变量和连续型随机变量
a) 离散型随机变量:P(X=k):= P{X=k}
b) 连续型随机变量:P(a≤X≤b) := P{a≤X≤b}
累计分布函数
CDF:定义为一个函数
通过它可以计算任何事件的概率
性质:
期望
某随机变量X可以定义为pX(x)(离散型)或者fX(x)(连续型),则定义随机变量g(X)的期望为:
对于事件X本身,则有g(X)=X,X的均值
性质:
- E[a]=a
- E[af(X)]=aE[f(X)]
- E(f(X)+g(X))=E[f(X)]+E[g(X)]
方差
方差定义为度量随机变量X在其均值的偏差程度,方差越小其偏离度越小,其形式定义为:
性质:
Var[a]=0 Var[af(x)]=a2Var[f(x)]
常见随机变量分布
条件分布
条件分布是指在知道事件X=x的情况下,事件Y的分布情况。
对于离散型随机变量有(条件概率质量函数):
对于连续型随机变量有(条件概率密度函数):
贝叶斯公式
连续型随机变量
离散型随机变量
独立
如果事件X和Y相互独立,则有
连续型随机变量:
fXY(x,y)=fX(x)fY(y) fXY(y|x)=fY(y)
离散型随机变量:
pXY(x,y)=pX(x)PY(y) pXY(y|x)=PY(y)
期望和协方差
给定两个随机变量X和Y,以及函数
X,Y的协方差定义为:
协方差的直观含义表示变量X和Y的相关性,如果X和Y相互独立,则有Cov[X,y]=0
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