Convex hull凸包问题和Graham算法

Convex hull凸包问题和Graham算法

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引入凸包问题前先复习一下向量的知识。
在二维空间中，向量定义方向和长度，用一对坐标x,y来表示。
向量的加法和减法就不加以赘述了，重点讲述向量的点乘和叉乘。
AB=x1∗x2+y1∗y2，AB=|A||B|cosΘ
点乘得到的是个标量，这个公式可以轻易计算两向量间的夹角Θ
重点是叉乘：AXB=x1∗y2−y1∗x2=|A||B|sinΘ
叉乘得到的是向量，方向符合右手螺旋法则，垂直于向量A、B所在的平面。
当A、B夹角小于180度，值为正值，否则为负值。
而且，在二维空间向量中，以逆时针方向为正方向。

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凸包定义：*N个点构成一个集合set，有这么一个凸多边形，它的顶点是集合中的点，且这个凸多边形包含了集合中的所有点，称这个凸多边形为“凸包”*。
输入：一系列点构成的集合；
输出：凸包顶点按逆时针顺序的序列。

凸包问题应用：
1、机器运动规划：找到点S到点T的避开障碍物的最短路径。

2、最远配对问题：
给定N个点在同一平面上，找到它们中有最大欧几里得距离的一对点：

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解决方案：
1、找出N个点钟纵坐标最小的点，标记为p；
2、计算出其余点相对于点p的极坐标角度，并按照角度排序，依次标记为点p1,p2,p3……

3、依次判断每个点pi，如果新加入的点没有构成凸多边形性质，则说明这个点不是凸包的顶点。
如何界定新加入的点有没有构成凸多边形性质：例如，新加入点为点P2，则查看点2是否在PP1直线左侧，即PP1和PP2的夹角是否在0~+180度，亦即直线PP1逆时针转动0~180度能到PP2直线。
数学表达式求解：A-B-C是否逆时针旋转。

如果结果：
- >0，A-B-C逆时针旋转；
- <0，A-B-C顺时针旋转；
- =0，A-B-C在一条直线上。

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代码思路：

1、查找给定点集中y坐标最小的点—P₀;
2、求出其他点相对于点P₀的角度，并按照角度排序;
3、依次求出各点是否满足逆时针旋转CCW的关系，过程：
将P₀、P₁压入堆栈，判断P₂是否满足ccw关系，如满足则将p₂压栈，不满足则将P₁出栈，一直到迭代了所有点。此时栈中的元素即为凸包的顶点。

package com.algotithm;import edu.princeton.cs.algs4.Stack;import edu.princeton.cs.algs4.StdIn;import java.awt.*;import java.io.FileInputStream;import java.io.FileNotFoundException;import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;import java.util.Iterator;public class Convexhull {    private Point[] points;    private int N;    private Point[] outPoint;    public Convexhull(int N, Point[] points) {        this.N = N;        this.points = points;    }    public int getLeastyPoint() {//返回纵坐标最小的点的索引；        int minyindex = 0;        for (int i = 1; i < N; i++) {            if (points[minyindex].y > points[i].y)                minyindex = i;        }        return minyindex;    }    public int AngleTwoPoints(Point point) {//和点P0点的连线与横轴的夹角，即P0Pi向量和（0，1）向量夹角余弦值        int yleast = getLeastyPoint();        if (point.x == points[yleast].x && point.y == points[yleast].y)            return 0;        else            return (int) (Math.acos((point.x - points[yleast].x) / (Math.sqrt(Math.pow(point.x - points[yleast].x, 2) + Math.pow(point.y - points[yleast].y, 2)))) * 180);    }    class AngleComparator implements Comparator<Point> {        @Override        public int compare(Point o1, Point o2) {//值大于0，说明o1离P0得角度大,o2就排在前面            return AngleTwoPoints(o1) - AngleTwoPoints(o2);        }    }    public void sort() {        Arrays.sort(points, new AngleComparator());    }    public Point[] OutPoint() {        Stack<Point> stack = new Stack<>();        int size = 0;        stack.push(points[0]);        stack.push(points[1]);        for (int i = 2; i < N; i++) {            Point a, b;            Iterator<Point> iterator = stack.iterator();            b = iterator.next();            a = iterator.next();//            if (ccw(a, b, points[i]) > 0)                stack.push(points[i]);            else {                stack.pop();                i--;            }        }        size = stack.size();        outPoint = new Point[size];        for (int j = 0; j < size; j++) {//栈最底部是原点，需除去；            outPoint[size - 1 - j] = stack.pop();        }        return outPoint;    }    public static int ccw(Point a, Point b, Point c) {        double area = (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (c.x - a.x) * (b.y - a.y);        if (area < 0) return -1;        else if (area > 0) return 1;        else return 0;    }    public static void main(String[] args) {        try {            FileInputStream input = new FileInputStream("/Users/guanglinzhou/Desktop/Convexhull.txt");            System.setIn(input);        } catch (FileNotFoundException e) {            e.printStackTrace();        }        int N = StdIn.readInt();        Point[] points = new Point[N];        Point[] outPoint;        int x, y;        for (int i = 0; i < N; i++) {            x = StdIn.readInt();            y = StdIn.readInt();            points[i] = new Point(x, y);        }        Convexhull convexhull = new Convexhull(N, points);        convexhull.sort();        outPoint = convexhull.OutPoint();        print(outPoint);        System.out.println("--------- ");    }    public static void print(Point[] points) {        for (Point p : points) {            System.out.print(p.x + "  " + p.y);            System.out.println();        }    }}

程序输入一些列点集的坐标值：

程序结果为凸包的顶点坐标：