数论基础（浅谈数论的部分实现）

最近写到一些基础数论题，
发现一个可怕的事实
基础数论的理论我都懂，但是连最基础的板子都有可能敲错
所以特意停下手中的题，进行基础数论的实现

First.欧几里得(辗转相除)

int gcd(int a,int b){    int r=a%b;    while (r)    {        a=b;b=r;r=a%b;    }    return b;}

Second.扩展欧几里得

ax+by=gcd(a,b)
ax+by=bx’+(a%b)y’
ax+by=bx’+(a-(a/b)*b)y’
ax+by=ay’+b(x’-(a/b)y’)

x=y’
y=x’-(a/b)y’

使用条件

等号右边一定是gcd(a,b)*k (k!=0)
如果是求拟元，则gcd(a,b)==1

int exgcd(int a,int b){    if (b==0)    {        x=1;y=0;        return;    }    else    {        exgcd(b,a%b);        int t=y;        y=x-(a/b)*y;        x=t;    }}

Third.KSM+费马小定理

使用条件

a,p互质

ll KSM(ll a,int b,ll p){    ll t=1;    a%=p;    while (b)    {        if (b&1)           t=(t%p*a%p)%p;        b>>=1;        a=(a%p*a%p)%p;    }    return t%p;}ll fm(ll x,ll p){    return KSM(x,p-2,p);}

Forth.线性求拟元
a在mod p意义下的拟元
p%a=p-(p/a)*a
p%a=-(p/a)*a
a=(p%a)*(-p/a)^-1
a^-1=inv[p%a]*(p-p/a)

int inv[N];void INV(int n,int p){    inv[0]=0;    inv[1]=1;    for (int i=2;i<=n;i++)        inv[i]=(p-(p/i))*inv[p%i]%p;}

Fifth.bsgs

map<ll,int> mp;int bsgs(ll x,ll z,ll p){    x%=p; z%=p;    mp.clear();    if (x==0&&z==0) return 0;    if (x==0) return -1;    ll m=(ll)ceil(sqrt((double)p)),now=1;    mp[1]=m+1;    for (int i=1;i<m;i++)    {        now=(now%p*x%p)%p;        if (!mp[now]) mp[now]=i;    }    ll inv=1,tmp=KSM(x,p-m-1,p);    for (int k=0;k<m;k++)    {        int i=mp[(z%p*inv%p)%p];        if (i)        {            if (i==m+1) i=0;            return k*m+i;        }        inv=(inv%p*tmp%p)%p;    }    return -1;}

Sixth.组合数的递推

int C[N][N];void doit(int n,int m){    int i,j;    C[1][1]=1;    for (i=2;i<=n;i++)        for (j=1;j<=i;j++)            C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];    for (i=1;i<=n;i++)    {        for (j=1;j<=i;j++)            printf("%d ",C[i][j]);        puts("");    }}

Seventh.Lucas

使用条件

p模数是素数，
相当于把n，m变成p进制数
C组合数可以预处理
因为p是质数，所以可以用费马小定理求拟元，
当然如果预处理了C就没有这个问题了

int inv(int x,int p){    return KSM(x,p-2,p);}int C(int n,int m){    if (m>n) return 0;    int FZ=1,FM=1;    for (int i=n-m+1;i<=n;i++) FZ=(FZ*i)%p;    for (int i=2;i<=m;i++) FM=(FM*i)%p;    return (FZ%p*inv(FM,p)%p)%p;}int Lucas(int n,int m,int p){    if (n<m) return 0;    int ans=1;    while (m)    {        ans=(ans%p*C(n%p,m%p)%p)%p;        n/=p;        m/=p;    }    return ans;}

Eighth.线性筛素数

int sshu[N],tot=0;bool no[N];void make(int n){    memset(no,0,sizeof(no));    for (int i=2;i<=n;i++)    {        if (!no[i])           sshu[++tot]=i;        for (int j=1;j<=tot&&sshu[j]*i<=n;j++)        {            no[sshu[j]*i]=1;            if (i%sshu[j]==0) break;   //i%sshu[j]         }    }}

Ninth.欧拉函数（phi）
计算式：
phi(i)=i*∏((j-1)/j) {j是素数且i%j==0}

注意

先除后乘防止炸掉

int phi[N];void makephi(int n)   //phi[i]小于等于i且与i互质的数的个数 {    int i,j;    for (i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;    for (i=1;i<=tot&&sshu[i]<=n;i++)        for (j=sshu[i];j<=n;j+=sshu[i])        {            phi[j]=phi[j]/sshu[i];            phi[j]=phi[j]*(sshu[i]-1);        } }

Tenth.莫比乌斯函数（mu）
μ(1)=1;
μ(素数)=-1
μ(分解质因数后，每个质因子<=1个)=-1^（质因子个数）；
μ(其他)=0

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达:
1)莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
2)μ(1)=1
3)当n存在平方因子时，μ(n)=0
4)当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1
5)当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

void makemu(int n){    mu[1]=1;    memset(no,0,sizeof(no));    for (int i=1;i<=n;i++)    {        if (!no[i])        {            sshu[++tot]=i;            mu[i]=-1;        }        for (int j=1;j<=tot&&sshu[j]*i<=n;j++)        {            no[sshu[j]*i]=1;            if (i%sshu[j]==0)            {                mu[i*sshu[j]]=0;                break;            }            mu[i*sshu[j]]=-mu[i];        }    }}

Eleventh.中国剩余定理（CRT）
有若干同余方程：
x≡a1 (%m1)
x≡a2 (%m2)
…
（mi互质）
设M=m1*m2*m3*…
对于每一个mi，我们计算M/mi在%mi意义下的逆元k
答案就是ΣM/mi*ki*ai （%M意义下的）

ll china(int n,int *a,int *m){    ll M=1;     ll an=0;    for (int i=1;i<=n;i++) M*=m[i];    for (int i=1;i<=n;i++)    {        ll w=M/m[i];        exgcd(w,m[i]);        an+=w*x*a[i]; an%=M;       //x是w%m[i]意义下的逆元     }    return an;}