树和二叉树（二）

今天介绍一下常见的二叉树：

二叉排序树（查找二叉树）

定义：一棵查找二叉树要么是一棵空树，要么满足以下条件：

1、查找树的左右子树各是一棵查找树；

2、若查找树的左子树非空，则其左子树的各结点值均小于根结点值；

3、若查找树的右子树非空，则其右子树的各结点值均大于根结点值；

基本操作：查找；插入结点；删除结点

查找：就是从根结点开始与键值（key）比较，若键值较小则进入左子树，反之进入右子树，重复比较，直到键值等于结点的值。

插入结点：①如果相同键值的结点已在查找二叉树中，则不再插入。

                    ②如果查找二叉树为空树，则以新结点为查找二叉树。

                    ③将要插入结点的键值与插入后的父结点的键值比较，就能确定新结点是父结点的左子结点还是右子结点，并进行相应插入。

删除结点：①若待删除的结点P是叶子结点，则直接删除该结点。

                    ②若待删除的结点P只有一个子结点，则将这个子结点与待删除结点的父结点直接连接，然后删除结点P。

                    ③若待删除的结点P有两个子结点，则在其左子树上，用中序遍历寻找关键值最大的结点S，用结点S的值代替结点P的值，然后删除结点P的值

最优二叉树（哈弗曼树）

需要知道的概念：树的路径长度、权、结点的带权路径长度（路径长度乘以权值）、树的带权路径长度（所有叶子结点带权路径长度之和）

最优二叉树的定义：带权路径长度最小的树

构造哈弗曼树的过程：

例：假设一组权值为{5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11}，构造哈弗曼树的过程如下：

第一步：以这8个权值作为根结点的权值构造具有8棵树的森林；

第二步：从中选择两个根的权值最小的树3， 5作为左右子树构造一棵新树，并将这两棵树从森林中删除，并将新树添加进去；

第三步：重复第二步过程，注意新树的根也要比较，直到森林中只有一棵树为止；

哈弗曼树的一个特征：只有叶子结点和度为2的结点

线索二叉树

为什么要有线索二叉树：

普通二叉树的结点存储结构为：

LchildDateRchild叶子结点的左右指针都为空，造成存储空间的浪费

 线索二叉树利用了叶子结点的空指针，左指针域指向前驱，右指针域指向后继，这两个指针称为线索

线索二叉树的表示：

LbitLchildDateRchildRbit 对标志域规定如下：

Lbit=0, Lchild是通常的指针

Lbit=1, Lchild是线索

Rbit=0, Rchild是通常的指针

Rbit=1, Rchild是线索

如何将二叉树转化为线索二叉树：

构造前序线索二叉树，中序线索二叉树，后序线索二叉树。

1、对树进行遍历，结点的前驱是左边字母，后继是右边字母

2、将空结点的左右指针按遍历顺序进行连线，所得到的的二叉树就是线索二叉树

线索二叉树的一个特征：若某结点父结点没有右孩子，则该结点后继是父结点

平衡二叉树

定义：平衡二叉树要么是空树，要么是一棵这样的树：

树中任一结点的左、右子树的深度相差不超过1。

平衡二叉树的构造

在一棵二叉查找树中插入结点后，调整其为平衡二叉树。若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树

1.调整方法

（1）插入点位置必须满足二叉查找树的性质 ，即任意一棵子树的左结点都小于根结点，右结点大于根结点

（2）找出插入结点后不平衡的最小二叉树 进行调整，如果是整个树不平衡，才进行整个树的调整。

2.调整方式

（1）LL型

LL型：插入位置为左子树的左结点，进行向右旋转

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1变为2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时A结点顺时针右旋转，旋转过程中遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为B结点的右子树，D结点成为A结点的左孩子。

（2）RR型

RR型：插入位置为右子树的右孩子，进行向左旋转

由于在A的右子树C的右子树插入了结点F，A的平衡因子由-1变为-2，成为不平衡的最小二叉树根结点。此时，A结点逆时针左旋转，遵循“旋转优先”的规则，A结点替换D结点成为C的左子树，D结点成为A的右子树。

（3）LR型

LR型：插入位置为左子树的右孩子，要进行两次旋转，先左旋转，再右旋转；第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在的子树，第二次再调整最小不平衡子树。

 

 由于在A的左子树B的右子树上插入了结点F，A的平衡因子由1变为了2，成为不平衡的最小二叉树根结点。第一次旋转A结点不动，先将B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

（4）RL型

RL型：插入位置为右子树的左孩子，进行两次调整，先右旋转再左旋转；处理情况与LR类似。