【BashuOJ3520】警察局长-最短路树+树上背包+概率DP

测试地址：警察局长
题目大意：有一个罪犯从节点1开始逃跑，每次都走最短路线（就是说，如果他到达某点，那么他经过的路径一定是节点1到该点的最短路径），如果在一个节点有多种选择，则等概率选择一条边逃跑，节点1到各点最短路径唯一。当没有选择的时候，他就会藏匿起来，使得抓捕行动失败。有s个警察，在第i个节点分配j个警察能抓住逃犯的概率是Pij，逃犯在摆脱一个节点内的追捕之后会按上面方法继续逃跑，问最优的分配方案下能抓住逃犯的概率。
做法：本题需要用到最短路树+树上背包+概率DP。
首先，逃犯每次沿最短路线逃跑，就相当于他在这个图从点1开始的最短路图上逃跑，如果没有可以继续跑的点了就藏匿起来。又因为点1到各点最短路径唯一，那么最短路图就是一棵树，那么就先SPFA预处理出最短路树再进行处理。
接下来怎么做呢？我们把警察看成资源，那么问题显然就是求最优的资源分配方案。我们设f(i,j)为在节点i子树上分配j个警察能够抓住逃犯的最大概率，g(i,j,k)为在节点i的前j个儿子的子树上分配k个警察能够抓住逃犯的最大概率，son(i)为节点i的儿子个数，child(i,j)为节点i的第j个儿子的编号，那么可得状态转移方程：
g(i,j,k)=max{g(i,j−1,k−l)+f(child(i,j),l)/son(i)|0≤l≤k}
f(i,j)=max{p(i,k)+(1−p(i,k))g(i,son(i),j−k)|0≤k≤j}
我们发现其中g的j一维可以略去，不过这样k就必须要逆向枚举了。
以上的方程看上去像是O(n2S2)的，但实际上是O(nS2)的，留给同学们自己证明吧，应该比较显然。总之，这样就可以通过这道题了。
以下是本人代码：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>#include <queue>#define inf 1000000000using namespace std;int n,m,s,first[210]={0},firste[210]={0},tot=0,dis[210];double f[210][210]={0},g[210][210]={0},p[210][210]={0},son[210]={0};bool vis[210]={0};struct edge {int v,d,next;} e[40010],ed[210];queue <int> Q;void insert(int a,int b,int c){    e[++tot].v=b;    e[tot].d=c;    e[tot].next=first[a];    first[a]=tot;}void inserte(int a,int b){    ed[++tot].v=b;    ed[tot].next=firste[a];    firste[a]=tot;}void spfa(int s){    Q.push(s);    vis[s]=1,dis[s]=0;    for(int i=2;i<=n;i++) dis[i]=inf;    while(!Q.empty())    {        int v=Q.front();Q.pop();        for(int i=first[v];i;i=e[i].next)            if (dis[e[i].v]>dis[v]+e[i].d)            {                dis[e[i].v]=dis[v]+e[i].d;                if (!vis[e[i].v]) Q.push(e[i].v),vis[e[i].v]=1;            }        vis[v]=0;    }}void build(int v){    for(int i=first[v];i;i=e[i].next)        if (dis[e[i].v]==dis[v]+e[i].d)        {            son[v]+=1;            inserte(v,e[i].v);            build(e[i].v);        }}void treedp(int v){    for(int i=firste[v];i;i=ed[i].next)    {        treedp(ed[i].v);        for(int j=s;j>=0;j--)            for(int k=0;k<=j;k++)                g[v][j]=max(g[v][j],g[v][j-k]+f[ed[i].v][k]/son[v]);    }    for(int i=0;i<=s;i++)        for(int j=0;j<=i;j++)            f[v][i]=max(f[v][i],p[v][j]+(1.0-p[v][j])*g[v][i-j]);}int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=m;i++)    {        int a,b,c;        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        insert(a,b,c),insert(b,a,c);    }    scanf("%d",&s);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=s;j++)            scanf("%lf",&p[i][j]);    spfa(1);    tot=0;    build(1);    treedp(1);    printf("%.4lf",f[1][s]);    return 0;}