UTAustinX: UT.5.04x LAFF: Linear Algebra

去年10月份学线性代数时的课程笔记

Week 2 Linear Transformations and Matrices

函数f(x)是线性变换的充要条件：

1 f(ax) = af(x)             (a是常数)

2 f(x+y) = f(x) + f(y)

或者，f(x) 可表示为，一个矩阵A与x的乘法。

Week 6: Gaussian Elimination

高斯变换是高斯消元的矩阵表示形式。

矩阵LU分解，指另矩阵A=LU, L是单元下三角矩阵，U是上三角矩阵。

求解Ax = b的过程如下：

1 先做LU分解。

2 求解Lz = b, 令b=z。这一步等价于forward substitution。

3 求解Ux = z。这一步等价于backward substitution。

Week 9: Vector Spaces

向量空间s具有如下性质：

1 0向量属于s

2 如果u,v 属于s，那么(u+v) 属于s

3 如果v属于s，那么av属于s（a是常数）

矩阵A的列空间C(A) 可以看做所有A的列的线性组合的集合。

Ax = b 有解的充要条件是b在A的列空间中。

矩阵A的零空间(null space) N(A)的性质如下，x属于N(A)，那么Ax = 0。

向量集合的线性独立性：集合中任何一个向量都不能写成其他向量的线性组合。

如果向量集合是线性独立的，那么把它们写成矩阵的形式A，N(A) = {0}。

矩阵A的秩，等于A的列空间的基的向量数。

对于一个在R上n*n维的矩阵A，以下论断是等价的：

1 A是非奇异的。

2 A是可逆的。（1的定义）

3 A-1（上标）存在。（2的定义）

4 AA-1（上标） = A-1（上标）A = I。（3的定义）

5 A是一个双射的线性变换。（假设存在“多对一”，那么这个“一”通过A-1是没法还原回去的，以为它们只能对应到同一个值）

6 Ax = b 有唯一解对于 b属于Rn（上标）。（Ax = I 有唯一解，通过拓展矩阵Ax = (I,B,C...)，可知道任意b都有唯一解）

7 Ax = 0 即 x = 0。（由6可知，有唯一解，0向量肯定是一个解，所以唯一解就是0）

8 Ax = ej 有解对于j属于{0,...,n-1}

9 A的行列式不等于0。（不加证明给出）

10 LU with partial pivoting 不会崩溃。（由分解的过程可知）

11 A的列空间是Rn（上标）。（等价于6）

12 A有线性独立的列。（等价于7）

13 A的零空间是{0}。（等价于7）

14 A的秩是n。（由12可得）

• Determine when linear systems of equations have a unique solution, an infinite number of solutions, or only approximate solutions.