西安网络赛 F 题 Trig Function 【数学公式题】

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//题意: 给出一个如题面的公式, 问将公式右端展开得到的多项式中cos(x)的m次方那项的系数是多少.
//思路: 那么最为关键的部分也就是如何展开cos(n*x), 当时比赛的时候百度了好久., 终于找到一个公式:
前面那个求和符号是求所有的系数之和. 所以对于一个m我们算出相应的k, 然后直接计算根据n的奇偶带入k进行计算即可. 注意当n,m 一定同奇偶! 否则对应的就没有那一项, 那么系数就是0, 可直接特判, 还有注意因为n比较大, 那么直接求二次阶乘肯定不行, 所以需要分母分子上下约掉一部分, 这样就可以简化运算, 那么同时也就要讨论相对大小了!!!

AC Code

/** @Cain*/const int maxn = 1e5+5;int cas=1;ll qpow(ll x,ll y){    ll res = 1;    while(y){        if(y&1) res = (res * x) % mod;        x = (x * x) % mod;        y >>= 1;    }    return res;}ll one(ll x){    ll res = 1;    for(ll i=x;i>=2;i--) {        res = (res * i) % mod ;    }    return res;}ll two(ll x,ll y){    ll res = 1;    for(ll i=x;i>y;i-=2) {        res = (res * i) % mod ;    }    return res;}void solve(){    ll n,m;    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)){        if(n%2 == 0 && m%2 ==0){            ll k = m/2;            ll tmp1 = n+2*k-2;            ll tmp2 = n-2*k;            ll t1,t2,t3,ans;            //printf("!%lld %lld\n",tmp1,tmp2);            if(tmp1 > tmp2){                t1 = n*two(tmp1,tmp2)%mod;                t2 = one(2*k);                t3 = qpow(t2,mod-2);                ans = (t1*t3) % mod;            }            else {                t1 = n;                t2 = one(2*k) * two(tmp2,tmp1);                t3 = qpow(t2,mod-2);                ans = (t1*t3) % mod;                //printf("%lld %lld %lld %lld\n",t1,t2,t3,ans);            }            if(((n-2*k)/2) % 2) ans *= -1;            printf("%lld\n",((ans % mod) + mod)%mod);        }        else if(n%2 && m%2){            ll k = (m+1)/2;            ll tmp1 = n+2*k-3;            ll tmp2 = n+1-2*k;            ll t1,t2,t3,ans;            if(tmp1 > tmp2){                t1 = n*two(tmp1,tmp2) % mod;                t2 = one(2*k-1);                t3 = qpow(t2,mod-2);                ans = (t1*t3) % mod;            }            else {                t1 = n;                t2 = one(2*k-1) * two(tmp2,tmp1);                t3 = qpow(t2,mod-2);                ans = (t1*t3) % mod;            }            if(((n+1-2*k)/2) % 2) ans *= -1;            printf("%lld\n",((ans % mod) + mod)%mod);        }        else printf("0\n");    }}