水平集重叠细胞分割

水平集概念引入： 
将平面闭合曲线隐含地表达为二维曲面函数的水平集,即具有相同函数值的点集 
也就是说对于三维曲面z=f(x,y)与xy平面的交线为： f(x,y)=0, 
则f(x,y)即为x,y平面的水平集表达，f(x,y)=0称为0水平集，如此便可以将演化的曲面或曲线嵌入到高维函数表示的曲面中。

用一个实例帮助理解：一条连续的参数化曲线时用一个一元连续函数来表示的，无法表示几条分开的曲线，那么对于几条曲线在运动中合并成一条曲线或一条曲线分裂成几条曲线这样的拓扑变化可以表示成一个连续变化的曲面与一个固定的平面的交线。这样复杂的曲线运动就可以简单地表示成一个更高一维的函数的演化。将演化方程转化为高维水平集函数的偏微分方程，从而避免参数化过程。故，水平集方法将几何活动轮廓模型的演化转化为，水平集函数的偏微分方程的表达式的，数值解的过程。

也就是说给定任意初始点，只要指定演化方向和速率就可以无限逼近几何轮廓模型。

水平集在重叠细胞的应用： 
参考论文：Nosrati M, Hamarneh G. A Variational Approach for Overlapping Cell Segmentation[C]// Overlapping Cervical Cytology Image Segmentation Challenge, in Conjunction with IEEE International Symposium on Biomedical Imaging. IEEE, 2014:1-2.

为了直观感受水平集的概念，直接上图片： 

对于第一个矩形中，如果给定了两个细胞，每个细胞对应一个水平集，那么两个细胞相交部分对应的水平集都大于零。具体看图理解

那么文章的整个流程可以归纳为： 

其中步骤Clumps identification 就是通过变分法，将泛函极值问题转化为对偏微分方程的求解。然后把偏微分方程的极小解作为图像分割的结果。

论文中的整个水平集计算过程可以总结为如下的迭代过程： 

如此便可以计算得到细胞质的分割结果