伯努利分布、二项分布

伯努利分布-Bernoulli distribution

伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果。1表示成功，出现的概率为p(其中0<p<1)。0表示失败，出现的概率为q=1-p。

分布律：

性质：均值：E(X)=p

          方差：var(X)=p(1-p)

二项分布-Binomial Distribution

二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布。

概率质量函数：

一般地，如果随机变量{\displaystyle {\mathit {X}}}服从参数为{\displaystyle {\mathit {n}}}和{\displaystyle {\mathit {p}}}的二项分布，我们记{\displaystyle X\sim b(n,p)}或{\displaystyle X\sim B(n,p)}.n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：

对于k = 0, 1, 2, ..., n，其中{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}是二项式系数。

期望和方差：

如果X~B(n, p)（也就是说，X是服从二项分布的随机变量），那么X的

期望值为：

方差为：

证明：首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为p，后者的概率为1 − p。该试验的期望值等于μ = 1 · p + 0 · (1−p) = p。该试验的方差也可以类似地计算：σ² = (1−p)²·p + (0−p)²·(1−p) = p(1 − p).   

一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和：

{\displaystyle \mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).}