240. Search a 2D Matrix II（搜索二维矩阵）

题目链接

https://leetcode.com/problems/search-a-2d-matrix-ii/description/

题目描述

Write an efficient algorithm that searches for a value in an m x n matrix. This matrix has the following properties:
- Integers in each row are sorted in ascending from left to right.
- Integers in each column are sorted in ascending from top to bottom.

For example,
Consider the following matrix:

[
[1, 4, 7, 11, 15],
[2, 5, 8, 12, 19],
[3, 6, 9, 16, 22],
[10, 13, 14, 17, 24],
[18, 21, 23, 26, 30]
]

Given target = 5, return true.
Given target = 20, return false.

题目分析

这个题目很好理解，就是查找在一个矩阵中有没有给定的目标。并且这个矩阵很特殊，每一行从左到右每一列从上到下都是递增的。因为每一行都是有序的，不难想到对每一行使用二分查找，这样时间复杂度为O(mlogn)，这个时间复杂度可以接受。不过，由于给定矩阵十分特殊，我们可以考虑从左下角（右上角也有类似结果，这里就不赘述）的元素开始考虑，利用分治算法可以把时间复杂度降到O(m+n).

方法一：对每一行二分查找

算法描述

• 遍历矩阵中的每一行
• 对于第i行，初始left和right分别是数组的第一个和最后一个元素的下标，middle=（left+right）/2。
  
  • 如果matrix[i][middle] = target，则找到
  • 如果matrix[i][middle] < target，说明target不可能存在于数组的左半边，left = middle + 1
  • 如果matrix[i][middle] > target，说明target不可能存在于数组的右半边，right = middle - 1
• 完成遍历后都没有找到，则说明矩阵中没有要寻找的目标

方法二：分治算法

算法描述

• 左下角的元素是这一行中最小的元素，同时又是这一列中最大的元素。比较左下角元素和目标：
  
  • 若左下角元素等于目标，则找到
  • 若左下角元素大于目标，则目标不可能存在于当前矩阵的最后一行，问题规模可以减小为在去掉最后一行的子矩阵中寻找目标
  • 若左下角元素小于目标，则目标不可能存在于当前矩阵的第一列，问题规模可以减小为在去掉第一列的子矩阵中寻找目标
• 若最后矩阵减小为空，则说明不存在

参考代码

方法一：对每一行二分查找

class Solution {public:    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {        int m = matrix.size();        if (m == 0) return false;        int n = matrix[0].size();        if (n == 0) return false;        for (int i = 0; i < m; i++) {            int left = 0, right = n - 1;            while (left <= right) {                int middle = (left + right) / 2;                if (matrix[i][middle] == target)                    return true;                else if (matrix[i][middle] < target)                    left = middle + 1;                else                    right = middle - 1;            }            if (left < n && matrix[i][left] == target)                return true;        }        return false;    }};

方法二：分治算法

class Solution {public:    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {        int m = matrix.size();        if (m == 0) return false;        int n = matrix[0].size();        if (n == 0) return false;        int i = m - 1, j = 0;        while (i >= 0 && j < n) {            if (matrix[i][j] == target)                return true;            else if (matrix[i][j] < target)                j++;            else                i--;        }        return false;    }};