Codeforces 514E Darth Vader and Tree【Dp+矩阵快速幂优化】

题目大意：

有一棵树，最开始就一个根节点，每个节点都有N个儿子，这个节点距离每个儿子的距离为di（1<=di<=100），问你距离根节点距离小于等于X的节点个数有多少个。

思路：

1、如果对于统计个数，我们考虑dp，设定dp【i】表示距离根节点距离为i的节点个数。

那么不难推出状态转移方程：dp【i】=Σdp【i-j】*len【j】；

2、显而易见，直接dp是会超时的，考虑优化，既然我们有了递推式，那么我们不妨介入矩阵优化。

然后矩阵快速幂就能够做到O（LogX）的时间复杂度。

3、既然有了dp递推式，那么矩阵的构造也就不难了：

①因为最大长度di==100，那么我们不妨将矩阵构造为101*101的大小，最后一行用来转移sum.因为我们要求的是Σdp【i】（0<=i<=X），而不是dp【X】；

②那么接下来预处理出dp【0~100】；

③那么有：

③对应求Sum【X】的时候，将第二个矩阵按照幂次增加即可。

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;const int MOD=1e9+7;#define LL __int64struct Matrix{    int a[105][105];//    int n,m;    Matrix(int _n=0,int _m=0,LL val=0)    {        n=_n; m=_m;        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<m;j++)                a[i][j]=(i==j?val:0);    }    void print()    {        for(int i=0;i<n;i++,puts(""))            for(int j=0;j<m;j++)                cout<<a[i][j]<<' ';        puts("");    }    Matrix operator *(Matrix tmp)    {        Matrix ret(n,tmp.m);        for(int i=0;i<n;i++)            for(int j=0;j<tmp.m;j++)                for(int k=0;k<m;k++)                    ret.a[i][j]=((LL)ret.a[i][j]+(LL)a[i][k]*tmp.a[k][j])%MOD;//        return ret;    }    Matrix operator ^(LL b)    {        Matrix ret(n,m,1),base=(*this);        while(b)        {            if(b&1) ret=ret*base;            b>>=1;            base=base*base;        }        return ret;    }};int tab[105];LL dp[105];int main(){int n,x;scanf("%d%d",&n,&x);int d;Matrix m0=Matrix(1,101);Matrix p=Matrix(101,101);for(int i=0;i<n;++i){scanf("%d",&d);++tab[d];++p.a[100-d][99];++p.a[100-d][100];}dp[0]=1;LL sum=1;for(int i=1;i<=100;++i){for(int j=1;j<=i;++j){dp[i]=(dp[i]+dp[i-j]*tab[j])%MOD;}sum=(sum+dp[i])%MOD;m0.a[0][i-1]=dp[i];}m0.a[0][100]=sum;//m0.print();for(int i=1;i<100;++i)p.a[i][i-1]=1;p.a[100][100]=1;LL ans=1;if(x<100){for(int i=0;i<x;++i)ans=(ans+m0.a[0][i])%MOD;printf("%I64d\n",ans);}else if(x==100) printf("%d\n",m0.a[0][100]);else{p=p^((x-100));m0=m0*p;printf("%d\n",m0.a[0][100]);}return 0;}