【 Codeforces 514E 】Darth Vader and Tree - DP 矩乘转移

　　题面比较文艺。
　　大意：给一棵树，这个树有无限个节点。对于每个点，都有n个儿子，第i个儿子与这个点的距离为di。问这棵树有多少个点离根的距离不超过x。

　　首先可以列出一个DP：f[i]=∑nj=1f[i−dj]，边界是f[0]=1。
　　似乎不是那么好做。但是注意到，di<=100，这意味着DP可以简化一下，变成连续的；f[i]=∑100j=1f[i−j]∗cnt[j]，其中j表示有多少条边权为j的边。要求的答案是∑xi=0f[i]，cnt可以预处理出来，接下来就是很经典的矩阵快速幂啦！
　　令s[i]=∑1<=j<=if[j]。设

F=(f[1]f[2]...f[100]s[100])

　　有伴随矩阵

A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜0100...000010...000001...00..................0000...10cnt[100]cnt[99]cnt[98]cnt[97]...cnt[1]0cnt[100]cnt[99]cnt[98]cnt[97]...cnt[1]1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

　　这个是显然的。左半部分是移位用的，倒数第二列用来计算新的f值，最后一列用新的f值加上s得到新的s值。
　　这样答案就是FAx−100的最后一个位。
　　当然前面要DP预处理一下，然后判断一下，再跑矩乘。
　　

#include <bits/stdc++.h>#define rep(i,a,b) for(int i = a , _ = b ; i <= _ ; i ++)#define per(i,a,b) for(int i = a , _ = b ; i >= _ ; i --)#define For(i,a,b) for(int i = a , _ = b ; i <  _ ; i ++)inline int rd() {    char c = getchar();    while (!isdigit(c)) c = getchar() ; int x = c - '0';    while (isdigit(c = getchar())) x = x * 10 + c - '0';    return x;}const int mod = 1000000007;typedef long long ll;inline int mul(int a , int b) { return (ll) a * b % mod; }struct Matrix {    int a[101][101];    Matrix() { memset(a , 0 , sizeof a) ; }    friend Matrix operator*(Matrix&A , Matrix&B) {        Matrix C = Matrix();        For (i , 0 , 101) For (j , 0 , 101) For (k , 0 , 101)            (C.a[i][j] += mul(A.a[i][k] , B.a[k][j])) %= mod;        return C;    }}A , B , T;int n , x , cnt[101] , f[101];void input() {    n = rd() , x = rd();    rep (i , 1 , n) cnt[rd()] ++;}void init() {    f[0] = 1;    rep (i , 1 , 100)        rep (j , 1 , i) (f[i] += mul(f[i - j] , cnt[j])) %= mod;}void solve() {    init();    if (x <= 100) {        int ans = 0;        rep (i , 0 , x) (ans += f[i]) %= mod;        printf("%d\n" , ans);        return;    }    For (i , 0 , 100) A.a[0][i] = f[i + 1] , (A.a[0][100] += f[i + 1]) %= mod;    For (i , 0 , 99 ) B.a[i + 1][i] = 1;    B.a[100][100] = 1;    For (i , 0 , 100) B.a[i][99] = B.a[i][100] = cnt[100 - i];    For (i , 0 , 101) T.a[i][i] = 1;    for (x -= 100;x;x >>= 1) {        if (x & 1) T = T * B;        B = B * B;    }    A = A * T;    printf("%d\n" , (A.a[0][100] + 1) % mod);}int main() {    #ifndef ONLINE_JUDGE        freopen("data.txt" , "r" , stdin);    #endif    input();    solve();    return 0;}