算法之QMR--ST算法

RMQ (RangeMinimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

解决的方法有:  

1、朴素（即搜索），O(n)-O(qn) online。

2、线段树，O(n)-O(qlogn)online。

3、ST（实质是动态规划），O(nlogn)-O(q) online。

ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k],d[b-2^k+1,k])，其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。

d的求法可以用动态规划，d[i,j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j])。

4、RMQ标准算法：先规约成LCA（LowestCommon Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(q)online。

这里学的是ST 算法

ST 算法 是一个动态规划的问题;

作用: ST算法是用来求解给定区间RMQ的最值， 

原理:  F[ I, J ]    代表从I 开始长度为 2^J  的区间内 的最值;

ST 动态规划:    

动态规划方程为:      d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j])。

用法: 

查询:区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间    查询[a,b] 区间 分成 [a,c]  与[c,b]  两个区间  内的最值问题;

预处理操作:   DP 解决

首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

void st(){for(int j=1;1<<j<=n;j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)maps[i][j]=max(maps[i][j-1],maps[i+(1<<j-1)][j-1]);}

查询操作:

int query(int l,int r){int x= int (log(r-l+1)/log(2));return max(maps[l][x],maps[r-(1<<x)+1][x]);}

main 函数内 输入操作:

for(int i=1;i<=n;i++)S1(maps[i][0]);