BZOJ1076 状态压缩DP 期望DP

大家都很强， 可与之共勉 。

[SCOI2008]奖励关

Description

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。 宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input

第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input

1 2
1 0
2 0
Sample Output

1.500000

对于最优决策的题，一般都倒着做，因为正着做的话会有多个选择。

这一步的期望=(上一步的期望+这一步的得分) / n

顺推不好判断当前状态是否有效。（倒推是有效从有效推来，无效随便，因为答案就是一个有效状态；而顺推则可能从无效推到有效。

令dpi,s表示第i次，之前获得过的宝物的状态为s的期望得分。

　　那么很显然我们可以列出期望方程：

dpi,s=∑j=1nMax{dpi+1,s|bin[j−1],dpi+1,s}

　　宝物抛出后，可以吃也可以不吃。注意条件。

# include <bits/stdc++.h>int p [105], s [105] ;double dp [105] [( 1 << 15) | 1] ;int main ( )  {    int n, k ;    scanf ( "%d%d", & k, & n ) ;    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++ i )  {        scanf ( "%d", p + i ) ;        int x ;        while ( ~ scanf ( "%d", & x ) && x )   s [i] |= ( 1 << ( x - 1 ) ) ;    }    int lim = ( 1 << n ) ;    for ( int i = k ; i >= 1 ; -- i )        for ( int j = 0 ; j < lim ; ++ j )  {            for ( int l = 1 ; l <= n ; ++ l )  {                if ( ( s [l] & j ) == s [l] )  {                    dp [i] [j] += std :: max ( dp [i + 1] [j], dp [i + 1] [j | ( 1 << ( l - 1 ) )] + p [l] ) ;                }  else  {                    dp [i] [j] += dp [i + 1] [j] ;                }            }            dp [i] [j] /= n ;        }    return printf ( "%.6lf\n", dp [1] [0] ), 0 ;}