【XSY1301】原题的价值 第二类斯特林数 NTT

题目描述

　　给你n,m，求所有n个点的简单无向图中每个点度数的m次方的和。

　　n≤109,m≤105

题解

　　gn为n个点的无向图个数，fn为n个点的答案。

gnfn=2(n2)=ngn−1∑i=0n−1(n−1i)im=ngn−1∑i=0n−1(n−1i)∑j=0i(ij)S(m,j)j!=ngn−1∑i=0n−1∑j=0i(n−1i)(ij)S(m,j)j!=ngn−1∑i=0n−1∑j=0i(n−jj)(n−1−ii−j)S(m,j)j!=ngn−1∑j=0m(n−1j)S(m,j)j!∑i=jn−1(n−1−ji−j)=ngn−1∑j=0m(n−1)j−S(m,j)2n−1−j

　　用ntt算斯特林数

　　时间复杂度：O(mlogm)

代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<utility>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int> pii;ll p=998244353;ll fp(ll a,ll b){    ll s=1;    while(b)    {        if(b&1)            s=s*a%p;        a=a*a%p;        b>>=1;    }    return s;}ll fc[300010];ll ifc[300010];ll a[300010];ll b[300010];int rev[300010];void ntt(ll *a,int n,int t){    ll u,v,w,wn;    int i,j,k;    rev[0]=0;    for(i=1;i<n;i++)        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);    for(i=0;i<n;i++)        if(rev[i]<i)            swap(a[rev[i]],a[i]);    for(i=2;i<=n;i<<=1)    {        if(t==1)            wn=fp(3,(p-1)/i);        else            wn=fp(fp(3,(p-1)/i),p-2);        for(j=0;j<n;j+=i)        {            w=1;            for(k=j;k<j+i/2;k++)            {                u=a[k];                v=a[k+i/2]*w%p;                a[k]=(u+v)%p;                a[k+i/2]=(u-v)%p;                w=w*wn%p;            }        }    }    if(t==-1)    {        ll inv=fp(n,p-2);        for(i=0;i<n;i++)            a[i]=a[i]*inv%p;    }}ll c[300010];int main(){//  freopen("b.in","r",stdin);//  freopen("b.out","w",stdout);    int n,m;    scanf("%d%d",&n,&m);    fc[0]=fc[1]=ifc[0]=ifc[1]=1;    int i;    int t=min(n-1,m);    for(i=2;i<=t;i++)    {        fc[i]=fc[i-1]*i%p;        ifc[i]=ifc[i-1]*fp(i,p-2)%p;    }    for(i=0;i<=t;i++)    {        a[i]=(i&1?-1:1)*ifc[i];        b[i]=fp(i,m)*ifc[i]%p;    }    int k=1;    while(k<=2*t)        k<<=1;    ntt(a,k,1);    ntt(b,k,1);    for(i=0;i<k;i++)        a[i]=a[i]*b[i]%p;    ntt(a,k,-1);    for(i=0;i<k;i++)        a[i]=(a[i]%p+p)%p;    ll ans=0;    c[0]=1;    for(i=1;i<=t;i++)        c[i]=c[i-1]*(n-i)%p;    for(i=0;i<=t;i++)        ans=(ans+c[i]%p*a[i]%p*fp(2,n-1-i)%p)%p;    ans=ans*n%p*fp(2,ll(n-1)*(n-2)/2%(p-1))%p;    printf("%lld\n",ans);    return 0;}