连续子段和问题（动态规划）

【问题描述】

给出一段序列，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

【输入格式】

输入文件的第一行是一个正整数 N，表示了序列的长度。第 2 行包含 N 个绝对值不大于 10000 的整数 A[i]，描述了这段序列。

【输出格式】输入文件仅包括 1 个正整数，为最大的子段和是多少。

【样例输入】

72 -4 3 -1 2 -4 3

【样例输出】

4

【数据规模与约定】

对于 40%的数据，有 N ≤ 2000。

对于 100%的数据，有 N ≤ 200000。

传统解法：求每次a[i]~a[j]的最大连续和（i<j<=n）;

#include<iostream>  #define MAXN 100001  using namespace std;  int main()  {      int a[MAXN];      int n,i,j,k;      int maxsum;//字段和最大值       int temp;//字段和       cin>>n;      for(i=1;i<=n;i++)      {          cin>>a[i];      }      maxsum=a[1];      for(i=1;i<=n;i++)//字段起点位置       {          for(j=i;j<=n;j++)//字段终点位置           {              temp=0;              for(k=i;k<=j;k++) temp=temp+a[k];//起点到终点求和               if(maxsum<temp) maxsum=temp;//字段最大值           }      }      cout<<maxsum<<endl;  }   

//改进  #include<iostream>  #include<cstring>   #define MAXN 100001  using namespace std;  int main()  {      int s[MAXN],a[MAXN];      memset(s,0,sizeof(s));      int n,i,j;      int maxsum;      int temp;      cin>>n;      for(i=1;i<=n;i++)      {          cin>>a[i];          s[i]=a[i]+s[i-1];//预处理前缀和，eg s[2] = a[2]+s[1] = a[2]+a[1]      }            maxsum=a[1];      for(i=1;i<=n;i++)//起点  2      {          for(j=i;j<=n;j++)//终点  3          {              temp=s[j]-s[i-1];// temp=s[3]-s[1] =a[1]+a[2]+a[3]-a[1]=a[2]+a[3]              if(maxsum<temp) maxsum=temp;          }      }      cout<<maxsum;  }   

#include<iostream>#define MAXN 200000using namespace std;int a[MAXN+10];int main(){int i,j,s,n,maxn=0;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];} for(i=1;i<=n;i++){s=a[i];for(j=i+1;j<=n;j++){s=s+a[j]; if(s>maxn) maxn=s;}}cout<<maxn<<endl;}

动态规划解法：

满足最优子结构，满足无后效性。

求连续字段和时，只有整数加上一个数才可能越来越大，负数加上任一个数都会变小。

#include<iostream>#define MAXN 200000using namespace std;int a[MAXN+10];int getMaxArray(int a[],int n){int maxn=a[0],tmp=0,i;for(i=1;i<=n;i++){if(tmp>0) tmp+=a[i];else tmp=a[i];//不能加“+”号 maxn=max(maxn,tmp);}return maxn;}int main(){freopen("seq.in","r",stdin);freopen("seq.out","w",stdout);int n,i,j;cin>>n;for(i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}cout<<getMaxArray(a,n)<<endl;return 0;}