算法与数据结构-分治法及汉诺塔问题求解

序言

学习五大常用算法：回溯 + 贪心 + DP + 分治 + 分支界限

这里看分治法的概念及应用，并用汉诺塔问题举例

1. 分治法的概念及应用领域

• 分治法：

  • 分而治之：将问题分解为相互独立的与原问题相同或相似的子问题，直到最后子问题可以直接求解，原问题的解即为子问题解的合并。

    在之前复习常见排序算法的时候我们就已经用过这种算法了，快排、归并排序中，都有类似的子问题划分求解合并的过程。

• 分治策略：

  • 一般来说，问题求解难度随着问题规模的增加而增加。对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
  • 要点：最优子结构性质 + 子问题相互独立

• 能用分治法求解的问题四个特征：

  • 问题规模缩小至一定规模就可解决（大多数问题都可以满足）
  • 问题可分解为多个规模较小的相同子问题（最优子结构性质，分治法的前提）
  • 子问题的解可以合并为原问题的解（区别于贪心和动态规划）
  • 该问题分解的子问题是相互独立的（分治法的效率，避免重复求解）

• 三个步骤

  • 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
  • 解决（Conquer）：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
  • 合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解

• 分治法求解的经典问题

  • 二分查找
  • 快排
  • 归并排序
  • 汉诺塔
  • 大整数乘法
  • Strassen矩阵乘法
  • 棋盘覆盖
  • 线性时间选择
  • 循环赛日程表

2. 汉诺塔问题求解

• 问题描述

  在汉诺塔游戏中，有三个分别命名为A、B、C得塔座，几个大小各不相同，从小到大一次编号得圆盘，每个原盘中间有一个小孔。最初，所有得圆盘都在A塔座上，其中最大得圆盘在最下面，然后是第二大，以此类推

• 游戏规则

  • 一次只能移动一个圆盘
  • 任何时候都不能将一个较大的圆盘压在较小的圆盘上面
  • 除了第二条限制，任何塔座的最上面的圆盘都可以移动到其他塔座上

• 问题分析

现有三根柱子，我们分别称为 1柱，2柱，3柱.欲将1柱上的n个盘子移到3柱上：    >> 把1柱n-1个盘子移到过2柱上（借助3柱为过渡柱）    >> 把1柱上第n个盘子移到3柱    >> 将2柱的n-1个盘子移至3柱（借助1柱为过渡柱）到第三步我们发现，已经开始重复之前的过程，每次的目的都是将源柱盘子中最底端最大的盘子移动到目标柱上。呈现出递归的特点。总结一般规律：    (1) 3个盘子的时候移动过程：1->3, 1->2,3->2,1->3,2->1,2->3,1->3. 一共7步完成移动。    (2) 如果是4个盘子，将上方3个盘子由1柱移动到2柱，需要7步，将第4个盘子移动到3柱上，需要1步，最后又将2柱上的3个盘子移动到3柱上，由(1)可知，也需要7步。一共需要：7+1+7=15步    (3) 如果是5个盘子，将上方4个盘子由1柱移动到2柱，需要15步，将第5个盘子移动到3柱上，需要1步，最后又将2柱上的4个盘子移动到3柱上，也需要15步。一共需要：15+1+15=31步    (4) 如果是6个盘子，...，一共需要：31+1+31=63步    一般规律是移动n个盘子，需要 2^n - 1 步。

• 代码实现-<递归，C语言>

#include <stdio.h>int i;void HanNuoTa(int n, char src, char trans, char dest){    if (n == 1)         //n==1，直接将盘子从源柱移动到目标柱即可        printf("第%d步：将第%d个盘子从%c--->%c\n",i++, n, src, dest);    else    {        HanNuoTa(n - 1, src, trans, dest);                             //先将n-1盘子移动到过渡柱        printf("第%d步：将第%d个盘子从%c--->%c\n",i++, n, src, dest);    //将第n个盘子移动到目标柱        HanNuoTa(n - 1, trans, src, dest);                             //重复以上步骤，以源柱为过渡柱    }}int main(){    int n;    while (scanf("%d", &n))    //scanf()成功返回读取的数据项数,文件尾返回NULL    {        i = 1;        HanNuoTa(n, '1','2','3');        printf("总的步数%d\n", --i);    }    //或HanNuoTa(n, "1柱", "2柱", "3柱");函数原型为HanNuoTa(int n, char *src, char *trans, char *dest);    return 0;}

Acknowledgements:
http://www.cnblogs.com/xsyfl/p/6921687.html
http://blog.csdn.net/geekwangminli/article/details/7981570 （推荐）
http://www.cnblogs.com/AI-Algorithms/p/3357368.html

2017.09.21