数据结构与算法:分治法应用总结
来源:互联网 发布:java servlet上传图片 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 02:19
介绍分治法应用之前首先介绍分治法的概念和步骤:
分治策略:将原问题划分为n个规模较小而结构与原问题相似的子问题;递归地解决这些子问题,然后再合并其结果,就得到原问题的解。
步骤:
1、分解(Divide):将原问题分解成一系列子问题;
2、解决(Conquer):递归地解各子问题。若子问题足够小,则直接求解;
3、合并(Combine):将子问题的结果合并成原问题的解。
下面主要介绍分治法的几种应用:
一、归并排序
归并排序按照上述的步骤可如下操作:
1、分解:将n个元素分成各含n/2个元素的子序列;
2、解决:用归并排序法对两个子序列递归地排序;
3、合并:合并两个已排序的子序列以得到排序结果。
归并排序的具体步骤和实现代码已经在前面的博客中详细介绍
博客地址:http://blog.csdn.net/dabusideqiang/article/details/23474963
二、二分查找
二分查找法:
在有序表中,把待查找数据值与查找范围的中间元素值进行比较:
1)待查找数据值与中间元素值正好相等,则放回中间元素值的索引;
2)待查找数据值比中间元素值小,则递归查找整个查找范围的前半部分;
3)待查找数据值比中间元素值大,则递归查找整个查找范围的后半部分;
4)如果最后找不到相等的值,则返回错误提示信息。
对应代码如下:
/*****************二分查找*******************//*** BinarySearch函数:在数组a中查找数据e (非递归法)* @param [in] a:查找数组* @param [in] e:待查找数据* @param [in] first:起始位置* @param [in] last:结束位置* @return int:待查找数据所在的位置*/ int BinarySearch(int a[], int e, int first, int last){if (a==NULL || first > last){return -1;}int mid;//中间位置while(first <= last){mid = (first + last) / 2;if (e == a[mid] ){return mid;}else if (a[mid] < e){first = mid + 1;}else if (a[mid] > e){last = mid - 1;}}return -1;}/*** BinarySearch_Recursion函数:在数组a中查找数据e (递归法)* @param [in] a:查找数组* @param [in] e:待查找数据* @param [in] first:起始位置* @param [in] last:结束位置* @return int:待查找数据所在的位置*/ int BinarySearch_Recursion(int a[], int e, int first, int last){if (a==NULL || first > last){return -1;}int mid = (first + last) / 2;if (e == a[mid]){return mid;}else if (e < a[mid]){return BinarySearch_Recursion(a, e, first, mid - 1);}else if (e > a[mid]){return BinarySearch_Recursion(a, e, mid + 1, last);}return -1;}二分查找时间复杂度为O(logn)
三、求数值的整数次方(xn)x是浮点数。
1、朴素算法:
针对这个问题要考虑以下几方面:
1)要考虑指数是0或负数的情况
2)要考虑指数为负数且底数是0的情况
3)由于底数是double型,当判断底数是否等于0时,不能直接用==,而是判断它们之差的绝对值是不是在一个很小的范围内。
对应代码如下:
bool g_InvalidInput = false;bool equal(double num1, double num2);double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent);/*** Power函数:求数值的整数次方* @param [in] base:底数* @param [in] exponent:指数* @return double:返回结果*/ double Power(double base, int exponent){ g_InvalidInput = false; if(equal(base, 0.0) && exponent < 0) { g_InvalidInput = true; return 0.0; } unsigned int absExponent = (unsigned int)(exponent); if(exponent < 0) absExponent = (unsigned int)(-exponent); double result = PowerWithUnsignedExponent(base, absExponent); if(exponent < 0) result = 1.0 / result; return result;} /*** PowerWithUnsignedExponent函数:求数值的非负整数次方(朴素法)* @param [in] base:底数* @param [in] exponent:非负指数* @return double:返回结果*/double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent){ double result = 1.0; for(int i = 1; i <= exponent; ++i) result *= base; return result;}/*** equal函数:判断两个浮点数是否相等* @param [in] num1:浮点数1* @param [in] num2:浮点数2* @return bool:返回结果*/bool equal(double num1, double num2){ if((num1 - num2 > -0.0000001) && (num1 - num2 < 0.0000001)) return true; else return false;}
注:程序中定义了全局变量g_InvalidInput,是为了标识程序是否出错,因为程序出错时返回0,而底数为0时程序正常运行也返回0,为了区分这个,设置一个全局变量g_InvalidInput,当程序出错时设置为true。
朴素算法的复杂度为O(n)
2、分治法
上述算法中需要循环做n-1次乘法。这里我们用分治法可以将n次方分解,比如求x8,我们只需要求x4就可以了,对x4再求平方就可以得到x8
上述表述可由下面的公式表示:
这个公式就可以通过递归实现了,实现代码如下:
/*** PowerWithUnsignedExponent函数:求数值的非负整数次方(分治法)* @param [in] base:底数* @param [in] exponent:非负指数* @return double:返回结果*/double PowerWithUnsignedExponent(double base, unsigned int exponent){ if(exponent == 0) return 1; if(exponent == 1) return base; double result = PowerWithUnsignedExponent(base, exponent >> 1); result *= result; if((exponent & 0x1) == 1) result *= base; return result;}分治法复杂度为O(logn)
四、斐波那契数列(Fibonacci)
Fibonacci数列是一个比较经典的例子,很多书中介绍递归时都用它作为例子。
- (n≧2)
1、递归法
大家对递归法应该都很熟悉,直接上代码:
/****************递归法*******************//*** Fbi1函数:求斐波那契数列* @param [in] n:第n项* @return long long:返回结果*/ long long Fbi1(int n) {if( n < 2 )return n == 0 ? 0 : 1; return Fbi1(n - 1) + Fbi1(n - 2); /* 这里Fbi就是函数自己,等于在调用自己 */}
我们以求f(10)为例分析求解过程,求f(10),需要求f(9)和f(8),求f(9)需要求f(8)和f(7),这样以此类推,可由下图表示依赖关系。
由图可以发现,递归时会重复计算一些数据,这样会增加复杂度。下面介绍一种迭代法,避免重复计算。
2、迭代法
为了避免重复计算,我们可以从下往上计算,可以将前一次计算的结果保存起来用于下一次计算,如先根据f(0)和f(1)求出f(2),然后利用f(1)和f(2)求出f(3)。以此类推、、、
对应代码如下:
/****************迭代法*******************//*** Fbi2函数:求斐波那契数列* @param [in] n:第n项* @return long long:返回结果*/ long long Fbi2(int n) {if( n < 2 )return n == 0 ? 0 : 1; long long fb1=1;long long fb2=0;long long fbn=0;for(int i=2;i<=n;i++){fbn=fb1+fb2;fb2=fb1;fb1=fbn;}return fbn;}上述的迭代法已经比较高效了,时间复杂度为0(n);下面来介绍今天的主题方法,分治法,时间复杂度达到O(logn),可能比较生僻,当时可以用来理解分治法。
3、基于矩阵的分治法
介绍该方法之前,首先要介绍一个数学公式:
这个公式很容易用归纳法证明,这里就不再证明了。
根据上述公式求f(n)可以转化为求矩阵的n-1次方。求数值的n次方是不是很熟悉,本文的分治法第三种应用就是求数值的整数次方,只不过这里的数值换成了矩阵。具体方法不再赘述。
对应代码如下:
/****************基于矩阵的分治法*******************//*** 矩阵结构体Matrix2By2,用于创建和初始化矩阵*/ struct Matrix2By2{Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0):m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}long long m_00;long long m_01;long long m_10;long long m_11;};/*** MatrixMultiply函数:矩阵相乘* @param [in] matrix1:矩阵1* @param [in] matrix2:矩阵2* @return Matrix2By2:返回矩阵结果*/ Matrix2By2 MatrixMultiply( const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2 ){return Matrix2By2(matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);}/*** MatrixPower函数:求矩阵的整数次方* @param [in] n:指数* @return Matrix2By2:返回矩阵结果*/ Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n){assert(n > 0);Matrix2By2 matrix;if(n == 1){matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);}else if(n % 2 == 0)//偶数{matrix = MatrixPower(n / 2);matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);}else if(n % 2 == 1)//奇数{matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));}return matrix;}/*** Fbi3函数:求斐波那契数列* @param [in] n:第n项* @return long long:返回结果*/ long long Fbi3(unsigned int n){if( n < 2 )return n == 0 ? 0 : 1; Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);return PowerNMinus2.m_00;}针对上述的三种方法求Fibonacci数列,可以运行试试,会发现递归法速度明显慢于其他两种方法。递归法由于是函数调用自身,而函数调用是有时间和空间的消耗,每一次调用都需要在内存栈中分配空间以保存参数、返回地址及临时变量,而往栈里压入和弹出数据都需要时间。递归本质是将一个问题分解成两个或多个小问题,如果小问题存在重复,那么就会重复计算增加复杂度。第一种递归法就是由于重复计算导致速度很慢。
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