统计数字问题 算法实现 （补0递归法）

统计数字问题算法实现 （补0递归法）

问题描述：一本书的页码从自然数1开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如第6页用6表示而不是06或006。数字统计问题要求对给定书的总页码，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0,1,2,3,.....9。

 

 

算法分析：

这个算法使用递归的方法来实现，具体步骤如下：

 

 

具体的算法思想是：

 

说明：n为一个自然数，m表示为十进制数的位数（如1234，则n为1234，m为4）。

 

对于一个m位整数，我们可以把0到n之间的n+1个整数从小到大这样来排列：000......0

.............

099......9

100......0

100......1
.............
199......9
200......0

.............
299......9

300......0
..........

n

这样一直排到自然数n。对于从0到199......9这个区间来说，抛去最高位的数字不看，其低m-1位恰好就是m-1个0到m-1个9共10^(m-1)个数，这时对于此区间共有(m-1)*10^(m-1)个数字（包括0～9）。利用原著中的递推公式，在这个区间里，每个数字出现的次数（不包括最高位数字）为(m-1)*10^(m-2)。假设n的最高位数字是x，那么在n之间上述所说的区间共有x个。那么每个数字出现的次数x倍就可以统计完这些区间。再看最高位数字的情况，显然0到x-1这些数字在最高位上再现的次数为10^(m-1)，因为一个区间长度为10^(m-1)。而x在最高位上出现次数就是n%10^(m-1)+1了。接下来对n%10^(m-1)（这个数其实就是去除最高位剩下的位数），即n去掉最高位后的那个数字再继续重复上面的方法直到个位，就可以完成题目要求了。

 

详细的例子说明：

    对于一个数字34567，我们可以这样来计算从1到34567之间所有数字中每个数字出现的次数：

     从0到9999，这个区间的每个数字的出现次数可以使用原著中给出的递推公式，即每个数字出现4000次。从10000到19999，中间除去万位的1不算，又是一个从0000到9999的排列，这样的话，从0到34567之间的这样的区间共有3个。所以从00000到29999之间除万位外每个数字出现次数为3*4000次。然后再统计万位数字，每个区间长度为10000，所以0,1,2在万位上各出现10000次。而3则出现4567+1=4568次。之后，抛掉万位数字，对于4567，再使用上面的方法计算，一直计算到个位即可。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>int a[12];int cj(int n)//求10的n次方{    int i;    int q=1;    if(n==0)    {        return 1;    }    for(i=0; i<n; i++)    {        q=q*10;    }    return q;}int sum(int n)//递归{    int l=n;    int x;    int j,k;    x=0;    int w=l;    while(l!=0)//数的位数    {        l=l/10;        x++;    }    k=w/cj(x-1);//最高位数值    for(j=0; j<10; j++)    {        a[j]+=k*(x-1)*cj(x-2);//假设最高位为m，这里求得是m-1个0到m-1个9这个区间0-9的个数，即（m-1）*10^(m-2);    }    for(j=0; j<k; j++)    {        a[j]+=cj(x-1); //加上最高位上的数的个数    }    a[k]+=1+w-k*cj(x-1);//m位数上最高位的值所含的数字    l=w-k*cj(x-1);//再进行递归，求m-1位数的个数    if(l==0)    {        return ;    }    else    {        return sum(l);    }}int main(){    int n,s;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        memset(a,0,sizeof(a));        int m=n;        int t=0,x;        int i;        sum(n);        while(m!=0)        {            m=m/10;            t++;        }        for(i=0; i<t; i++)        {            a[0]-=cj(i);        }        for(i=0; i<10; i++)        {            printf("%d\n",a[i]);        }    }    return 0;}