博弈论学习笔记

博弈论性质：

1.有一个可能的状态集，这个状态集通常是有限的。

2.游戏规定了在任何状态下双方可能的行动和对应的后继状态集。

3.游戏总能在有限步内完成。

一些基本定义：

1.P表示必败点，N表示必胜点。

2.所有的终结点都是P。

3.从N点的任何操作，至少有一种方式到达P

4.P只能到达N。

5.mex（S）作用于集合的函数，只是最小的不属于这个集合的自然数。

6.SG函数，值是状态x的后继状态中的SG函数的集合。

博弈论经典例题Nim游戏：

有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

结论：若所有石子数目异或和为0，则先手必败，反正先手必胜。

证明：

首先若异或和为0，先手一定无法达到异或和为0的状态，而在先手移动后，后手一定有一种方法移动到异或和为0的状态。对于先手无法达到的证明，由于异或满足消去，那么若二进制中这一位为0，则一定有偶数个数这一位为0,而先手不可能一次取两个或以上的堆中的石子，所以无法满足（自己瞎jb证明的），对于后手，找异或后的最高位的1，移动那堆石子，一定可以达到低位中的数，则异或就为0了。