[BZOJ2246][SDOI2011]迷宫探险（状压&概率DP）

1、DP模型

用3进制数表示陷阱的状态，0表示无害，1表示有害，2表示未知。可建立DP模型：
f[x][y][S][h]表示从(x,y)开始，当前陷阱的状态为S，血量为h，活着走出迷宫的概率。使用记忆化搜索。

2、边界&转移

边界为：
f[x][y][S][0]=0
当(x,y)为终点时f[x][y][S][h]=1
转移为（以下(tx,ty)为(x,y)走一步能到达的格子，且(tx,ty)不为墙）：
当(tx,ty)为平地，起点，终点或无害陷阱时，
f[x][y][S][h]=max(f[x][y][S][h],f[tx][ty][S][h])
当(tx,ty)为有害陷阱时，
f[x][y][S][h]=max(f[x][y][S][h],f[tx][ty][S][h−1])
当(tx,ty)为未知陷阱时，设陷阱编号为tt，则
f[x][y][S][h]=max(f[x][y][S][h],f[tx][ty][S−3tt−1][h−1]∗g[S][tt]+
f[tx][ty][S−2∗3tt−1][h]∗(1−g[S][tt]))。

3、关于g数组

上面g[S][tt]表示当前状态为S时陷阱tt有害的概率。
预处理g，也就是枚举S，再枚举0到2K−1，选取有用的概率计入g。

4、总结

结合「SCOI2008奖励关」「JLOI2013卡牌游戏」两题可以得出，像这样有限制条件，且在转移的过程中限制条件不断变化的概率DP，一般模型为：
f[state]表示从state状态到达目标状态的最大/小概率/期望。

5、代码

#include <cmath>#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;inline int read() {    int res = 0; bool bo = 0; char c;    while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');    if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;    while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')        res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);    return bo ? ~res + 1 : res;}inline char get() {    char c; while (((c = getchar()) < 'A' || c > 'E') && c != '@'        && c != '$' && c != '.' && c != '#'); return c;}const int N = 35, C = 267, R = 45, V = 10;int m, n, K, H, dx[] = {1, 0, -1, 0}, dy[] = {0, -1, 0, 1}, pw[V], pb[R];char s[N][N]; double f[N][N][C][V], gw[C][V];bool vis[N][N][C][V];double chkmax(double &a, double b) {a = max(a, b);}int cyx(int S, int x) {    return S / pw[x - 1] % 3;}int lpf(int S, int x, int y) {    int res = S - cyx(S, x) * pw[x - 1];    return res + y * pw[x - 1];}void init() {    int i, j, S; for (S = 0; S < pw[K]; S++) {        int s1 = 0;        for (i = 0; i < (1 << K); i++) {            bool flag = 1; for (j = 1; j <= K; j++) {                int xx = cyx(S, j); if (xx == 2) continue;                if (xx != ((i >> j - 1) & 1)) {flag = 0; break;}            }            if (!flag) continue; s1 += pb[i];            for (j = 1; j <= K; j++) {                if (cyx(S, j) != 2 || !((i >> j - 1) & 1)) continue;                gw[S][j] += pb[i];            }        }        for (i = 1; i <= K; i++) gw[S][i] /= s1;    }}double DP(int x, int y, int S, int h) {    if (vis[x][y][S][h]) return f[x][y][S][h];    if (s[x][y] == '@') return vis[x][y][S][h] = 1, f[x][y][S][h] = 1;    if (h == 0) return vis[x][y][S][h] = 1, f[x][y][S][h] = 0;    vis[x][y][S][h] = 1; int i;    for (i = 0; i < 4; i++) {        int tx = x + dx[i], ty = y + dy[i], tt = s[tx][ty] - 'A' + 1;        if (tx < 1 || tx > m || ty < 1 || ty > n || s[tx][ty] == '#')            continue;        if (s[tx][ty] == '.' || s[tx][ty] == '@' || s[tx][ty] == '$' ||            (tt >= 1 && tt <= K && cyx(S, tt) == 0))                chkmax(f[x][y][S][h], DP(tx, ty, S, h));        if (tt >= 1 && tt <= K && cyx(S, tt) == 1)            chkmax(f[x][y][S][h], DP(tx, ty, S, h - 1));        if (tt >= 1 && tt <= K && cyx(S, tt) == 2)            chkmax(f[x][y][S][h], DP(tx, ty, lpf(S, tt, 1), h - 1) * gw[S][tt]                + DP(tx, ty, lpf(S, tt, 0), h) * (1.0 - gw[S][tt]));    }    return f[x][y][S][h];}int main() {    int i, j, Sx, Sy;    m = read(); n = read(); K = read(); H = read();    for (i = 1; i <= m; i++) for (j = 1; j <= n; j++)        if ((s[i][j] = get()) == '$') Sx = i, Sy = j; pw[0] = 1;    for (i = 0; i < (1 << K); i++) pb[i] = read();    for (i = 1; i <= K; i++) pw[i] = pw[i - 1] * 3; init();    printf("%.3lf\n", DP(Sx, Sy, pw[K] - 1, H));    return 0;}