【POJ】2155 Matrix 树套树&&树状数组

题目传送门

从此入坑树套树，感觉现在自己脑子里还是一片的浆糊啊……感觉树套树好神奇啊……

这题是一道明显的矩阵修改问题。（其实我也不知道这题的类型是什么，但是形象一点就叫它矩阵修改问题吧）

对于树套树的里外两层线段树的理解：第一层线段树表示横坐标坐标在区间[x1,x2]内的所有子矩阵，第二层线段树表示纵坐标在区间[y1,y2]内的所有子矩阵。

显然用树套树的数据结构，我们可以把所有子矩阵映射到里外两层线段树上。

• 对于区间修改，我们先在外层线段树上找到一个区间[l1,r1]，满足当前区间是目标区间的子区间，然后再在内层线段树上找到一个区间[l2,r2]，同样满足当前区间是目标区间的子区间，显然我们要修改所有这样的[l1,r1][l2,r2]。

• 对于单点询问，所有包括目标点的区间都能对答案做出贡献。这个很显然，因为我们可能修改了区间[1,2][2,3]，然后我们查询点(2,2)，显然答案为1，而不是0。（话说这玩意儿好像叫标记永久化？并不太懂诶。好像是只有在标记没法向下传递的时候才用标记永久化的。）

于是这题就被愉快的解决了。

附上AC代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#define lt (k<<1)#define rt (k<<1|1)#define mid ((l+r)>>1)using namespace std;const int N=1e3+10;int n,m,ti,t[N*3][N*3],x1,y1,x2,y2,ans;char s[10];inline void ask(int x,int k,int l,int r,int y){ans^=t[x][k];if (l==r) return;if (y<=mid) ask(x,lt,l,mid,y);else ask(x,rt,mid+1,r,y);return;}inline void query(int k,int l,int r,int x,int y){ask(k,1,1,n,y);if (l==r) return;if (x<=mid) query(lt,l,mid,x,y);else query(rt,mid+1,r,x,y);return;}inline void change(int x,int k,int l,int r,int ql,int qr){if (l>=ql&&r<=qr) return (void)(t[x][k]^=1);if (ql<=mid) change(x,lt,l,mid,ql,qr);if (qr>mid) change(x,rt,mid+1,r,ql,qr);return;}inline void updata(int k,int l,int r,int ql,int qr,int ll,int rr){if (l>=ql&&r<=qr) return change(k,1,1,n,ll,rr);if (ql<=mid) updata(lt,l,mid,ql,qr,ll,rr);if (qr>mid) updata(rt,mid+1,r,ql,qr,ll,rr);return;}int main(void){for (scanf("%d",&ti); ti; --ti){memset(t,0,sizeof t),scanf("%d%d",&n,&m);while (m--){scanf("%s%d%d",s,&x1,&y1);if (s[0]=='Q') ans=0,query(1,1,n,x1,y1),printf("%d\n",ans);else scanf("%d%d",&x2,&y2),updata(1,1,n,x1,x2,y1,y2);}if (ti) putchar('\n');}return 0;}

除了上述的线段树套线段树的解法，我们还可以想到的是二维树状数组的解法。

（图画的有点丑，各位大佬将就这看看吧QwQ）

图中绿色的区间是我们要修改的区间，蓝色、紫色都是些不相关的区间。

先给出核心代码：

change(x1,y1),change(x1,y2+1),change(x2+1,y1),change(x2+1,y2+1);

代码中的change(x,y)表示翻转[x,n][y,n]。

我们再来看图，显然经过上面那段代码，绿色的区间被翻转了一次；蓝色的两个区间被翻转了两次，也就相当于没有被翻转；紫色的区间被翻转了四次，也就相当于没有被翻转。所以，经过上面的那段代码，就相当于翻转了一次我们的目标区间。

于是这题就被树状数组秒掉了。

附上AC代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#define lowbit(x) ((x)&(-x))using namespace std;const int N=1e3+10;int n,m,x1,y1,x2,y2,t[N][N],ti;char s[10];inline void change(int x,int y){for (int i=x; i<=n; i+=lowbit(i))for (int j=y; j<=n; j+=lowbit(j))t[i][j]^=1;return;}inline int query(int x,int y){int sum=0;for (int i=x; i; i-=lowbit(i))for (int j=y; j; j-=lowbit(j))sum^=t[i][j];return sum;}int main(void){for (scanf("%d",&ti); ti; --ti){memset(t,0,sizeof t),scanf("%d%d",&n,&m);while (m--){scanf("%s%d%d",s,&x1,&y1);if (s[0]=='Q') printf("%d\n",query(x1,y1));else scanf("%d%d",&x2,&y2),change(x1,y1),change(x1,y2+1),change(x2+1,y1),change(x2+1,y2+1);}if (ti) putchar('\n');}return 0;}