巴什博奕

好几个星期前看的东西了。现在才写。

巴什博奕：
一堆n个物体，2个人从中轮流取，每次必须取1~m个（边界条件可取到），最后取完者得胜。

结论：当且仅当n%（m+1）==0时，后者必胜。

思路：
1.n=m+1时，后者获胜。
2.令n=（m+1）r+s (1<=s<=m) 先手取s，后手取x，则先手取m+1-x，（这个值肯定在1~m之间），使得n=（m+1）（r-1），之后只要继续维护n为m+1的倍数，直到1的情况，此时后手（即最开始的先手）胜利。

变形：条件不变，最后取完者输。
结论：当且仅当（n-1）%（m+1）==0 时，后手必赢。

思路：
1.当n=m+2时，后手必赢。
2.若n=（m+1）r+1，则先手取x个，后手取m+1-x个，使局面变成n=（m+1）（r-1）+1。继续维护，直至局面变成1。后手胜利。
可以证明当n=（m+1）r+mod（mod>=2）时，先手总存在一种策略使得n=（m+1）r+1，此时后手（即最开始的先手）胜利。