[反演] 2017 计蒜之道 复赛 A. 阿里云秘钥池

不错的题。

我们就是要解决小于n的合法的数有几个。有个套路就是考虑最高的和 n 不一样的位，后面就随便填了，可以枚举一下统计答案。现在只需要算这样一个东西：f[i][j] 表示数字共 i 位，最高位是 j 的合法方案。

推式子就好啦

f[i][j]=∑k=1P−1[gcd(j,k)=1]f[i−1][k]

=∑k=1P−1f[i−1][k]∑d|k,d|jμ(d)=∑d|jμ(d)∑dt≤P−1f[i−1][dt]

这样就可以可以每层 Plog2P 转移了。总复杂度算一下就会发现很科学：O(logpR P log2P)=O(P log2R)

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int maxn=100005,N=100000;int p[maxn],mu[maxn];bool vis[maxn];void get_mu(){    mu[1]=1;    for(int i=2;i<=N;i++){        if(!vis[i]) p[++p[0]]=i, mu[i]=-1;        for(int j=1;j<=p[0]&&(LL)i*p[j]<=N;j++){            vis[i*p[j]]=true;            if(i%p[j]==0){ mu[i*p[j]]=0; break; }            mu[i*p[j]]=-mu[i];        }    }}int _test,P;LL f[70][maxn];int tem[70];inline int gcd(int x,int y){ return y==0?x:gcd(y,x%y); }LL Calc(LL n){    memset(tem,0,sizeof(tem));    LL _n=n; do tem[++tem[0]]=_n%P, _n/=P; while(_n);    for(int i=0;i<=tem[0];i++) for(int j=0;j<=P;j++) f[i][j]=0;    for(int i=1;i<=P-1;i++) f[1][i]=1;    for(int i=1;i<=P-1;i++){        LL _g=0; for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) _g+=f[1][i*j];        for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) f[2][i*j]+=_g*mu[i];    }    for(int k=2;k<=tem[0];k++){        for(int i=1;i<=P-1;i++){            LL _g=0; for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) _g+=f[k][i*j];            for(int j=1;(LL)i*j<=P-1;j++) f[k+1][i*j]+=_g*mu[i];        }    }    LL res=0;    for(int i=1;i<=tem[0]-1;i++)     for(int j=1;j<=P-1;j++) res+=f[i][j];    for(int i=tem[0];i>=1;i--){        for(int j=1;j<=tem[i]-1;j++) if(i==tem[0]||gcd(tem[i+1],j)==1)         res+=f[i][j];        if((tem[0]>i&&gcd(tem[i+1],tem[i])!=1)||tem[i]==0) break;    }    return res;} int main(){    freopen("jskA.in","r",stdin);    freopen("jskA.out","w",stdout);    get_mu();    scanf("%d",&_test);    while(_test--){        LL L,R; scanf("%lld%lld%d",&L,&R,&P);        printf("%lld\n",Calc(R+1)-Calc(L));     }    return 0;}